Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
As curvas alpha(t)=2 t i+3 t j+0 k e beta(t)=3 t i-2 t j+1 k, t in R, se intersectam em um ângulo reto em (0,0,0).

Passo 1

Temos as curvas alpha(t)=2t,i+3t,j+0,k e beta(t)=3t,i-2t,j+1,k. A questão pede para verificar se elas se intersectam em (0,0,0) e, nesse ponto, formam ângulo reto. Vamos precisar encontrar parâmetros que façam ambas iguais a (0,0,0) e, caso existam, checar se os vetores tangentes são ortogonais via produto escalar.

Passo 2

Para ter interseção em (0,0,0) precisamos de alpha(t1)=(0,0,0) e beta(t2)=(0,0,0). Da primeira vem 2t1=0 e 3t1=0, logo t1=0. Da segunda, 3t2=0 t2=0, mas a componente k exige 1=0, o que é impossível. Portanto não existe t2 que leve beta(t2) à origem.

Passo 3

Se as curvas não se interceptam em (0,0,0), não faz sentido falar em ângulo entre elas nesse ponto. Ainda assim, os vetores tangentes constantes seriam alpha'(t)=(2,3,0) e beta'(t)=(3,-2,0), cujo produto escalar é 2cdot3+3cdot(-2)+0cdot0=0, indicando ortogonalidade caso houvesse interseção.

Passo 4

Como falha a condição de interseção no ponto indicado, a afirmação conjunta de interseção e ângulo reto em (0,0,0) é falsa.

Resposta

Falso. As curvas não se intersectam em (0,0,0) porque não há parâmetro t que anule a componente k de beta(t).

Exercícios relacionados