Determine a integral da função f(x)=cos ^3(4 x)

Passo 1

O exercício pede que a gente encontre a integral indefinida da função f(x)=cos^3(4x). Esse tipo de problema envolve integrais de funções trigonométricas com potências. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que reduz a potência e depois fazer uma substituição simples.

Passo 2

Uma potência ímpar de cosseno pode ser escrita como cos^3(4x)=cos(4x),(cos^2(4x)). Sabemos que cos^2(4x)=1-sin^2(4x). Assim, isolamos essa forma vantajosa:
cos^3(4x)=cos(4x),(1-sin^2(4x))

Passo 3

Definimos a substituição u=sin(4x). Calculamos a diferencial:
du=4cos(4x),dx Longrightarrow cos(4x),dx=tfracdu4

Passo 4

Substituindo tudo na integral, transformamos em uma integral de polinômio em u:
integralcos^3(4x),dx=integral(1-u^2),du4=14integral(1-u^2),du

Passo 5

Agora é só integrar termo a termo:
14integral(1-u^2),du=14l(u-u^33r)+C=u4-u^312+C

Passo 6

Voltando para a variável original usando u=sin(4x), obtemos a primitiva de cos^3(4x):
sin(4x)4-sin^3(4x)12+C

Resposta

integralcos^3(4x),dx=sin(4x)4-sin^3(4x)12+C

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