Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Se f(x, y, z) é uma função escalar, então rot(nabla f(x, y, z))=0, para todo (x, y, z) in R^3.

Passo 1

O enunciado diz que, para uma função escalar f(x,y,z), o rotor do seu gradiente deve ser o vetor nulo. Isso é conteúdo de cálculo vetorial: operadores diferenciais (gradiente e rotor) e a propriedade das derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Vamos lembrar as definições. O gradiente de f é o vetor
nabla f = (partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial z)
e o rotor de um campo vetorial F = (F₁,F₂,F₃) é dado por
nabla times F=l(partial F3partial y-partial F2partial z,,partial F1partial z-partial F3partial x,,partial F2partial x-partial F1partial yr)

Passo 3

Agora, aplicando isso ao campo F = ∇f, temos F₁ = ∂f/∂x, F₂ = ∂f/∂y e F₃ = ∂f/∂z. Assim
nablatimesnabla f = l(partialpartial ypartial fpartial z-partialpartial zpartial fpartial y,,partialpartial zpartial fpartial x-partialpartial xpartial fpartial z,,partialpartial xpartial fpartial y-partialpartial ypartial fpartial xr)

Passo 4

Como estamos supondo que f é suficientemente suave (classe C²), vale a igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz):
partialpartial ypartial fpartial z = partialpartial zpartial fpartial y,e analogamente para as outras combinaçõesçõ

Passo 5

Logo, cada componente do vetor acima é zero, e portanto nablatimesnabla f=0.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados