Questão 1. Para cada uma das afirmações abaixo, escreva verdadeiro ou falso e dê uma justificativa para a sua resposta.
Se
é uma função escalar, então
, para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que, para uma função escalar f(x,y,z), o rotor do seu gradiente deve ser o vetor nulo. Isso é conteúdo de cálculo vetorial: operadores diferenciais (gradiente e rotor) e a propriedade das derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Vamos lembrar as definições. O gradiente de f é o vetor
e o rotor de um campo vetorial F = (F₁,F₂,F₃) é dado por
Passo 3
Agora, aplicando isso ao campo F = ∇f, temos F₁ = ∂f/∂x, F₂ = ∂f/∂y e F₃ = ∂f/∂z. Assim
Passo 4
Como estamos supondo que f é suficientemente suave (classe C²), vale a igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz):
Passo 5
Logo, cada componente do vetor acima é zero, e portanto
.
Resposta
Verdadeiro.