Calcule as seguintes integrais duplas por meio de integrais iteradas escolhendo, inicialmente, a ordem de integração mais conveniente.
integral duplaD e^x ln y d A, em que D é a região no primeiro quadrante limitada abaixo pela curva x=ln y, de y=1 a y=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular integral duplaD e^x ln y , dA, onde a região D está no primeiro quadrante e é limitada pela curva x = ln y, entre y = 1 e y = 2. Vamos usar integrais iteradas para resolver isso, escolhendo a ordem de integração que facilita mais. Para isso, vamos precisar entender como descrever a região D e aplicar a teoria das integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. A curva x = ln y pode ser reescrita como y = e^x. No primeiro quadrante, y varia de 1 a 2. Então, para cada y entre 1 e 2, x vai de 0 até ln y. Isso porque quando y = 1, x = ln 1 = 0, e quando y = 2, x = ln 2.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. Então, nossos limites de integração serão:
  • y varia de 1 a 2
  • Para cada y, x varia de 0 a ln y
Assim, a integral fica:
integraly=1^2 integralx=0^ln y e^x ln y , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x:
integral0^ln y e^x ln y , dx
Aqui, ln y é constante em relação a x, então podemos tirar fora da integral:
ln y integral0^ln y e^x , dx
A integral de e^x em relação a x é e^x, então:
ln y [ e^x ]0^ln y = ln y (e^ln y - e^0) = ln y (y - 1)

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral1^2 ln y (y - 1) , dy
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral1^2 y ln y - ln y , dy = integral1^2 y ln y , dy - integral1^2 ln y , dy

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para integral y ln y , dy, usamos a integração por partes, onde:
  • Seja u = ln y então du = 1y dy
  • Seja dv = y , dy então v = y^22
Aplicando integração por partes:
uv - integral v , du = ln y cdot y^22 - integral y^22 cdot 1y dy = y^2 ln y2 - 12 integral y , dy = y^2 ln y2 - y^24 + C
Agora, para integral ln y , dy, usamos também integração por partes:
  • Seja u = ln y então du = 1y dy
  • Seja dv = dy então v = y
Aplicando:
uv - integral v , du = y ln y - integral y cdot 1y dy = y ln y - integral 1 , dy = y ln y - y + C

Passo 7

Voltando à nossa integral:
integral1^2 y ln y , dy - integral1^2 ln y , dy = [ y^2 ln y2 - y^24 ]1^2 - [ y ln y - y ]1^2
Calculando cada parte:
Para [ y^2 ln y2 - y^24 ]1^2:
  • Em y = 2:
    4 ln 22 - 44 = 2 ln 2 - 1
  • Em y = 1:
    1 cdot 02 - 14 = -14
Diferença:
(2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 34
Para [ y ln y - y ]1^2:
  • Em y = 2:
    2 ln 2 - 2
  • Em y = 1:
    1 cdot 0 - 1 = -1
Diferença:
(2 ln 2 - 2) - (-1) = 2 ln 2 - 1

Passo 8

Substituindo de volta na expressão geral:
(2 ln 2 - 34) - (2 ln 2 - 1) = 2 ln 2 - 34 - 2 ln 2 + 1 = 14

Resposta

O valor da integral dupla é dfrac14.

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