Calcule as seguintes integrais duplas por meio de integrais iteradas escolhendo, inicialmente, a ordem de integração mais conveniente.
, em que
é a região no primeiro quadrante limitada abaixo pela curva
, de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela curva
, entre
e
. Vamos usar integrais iteradas para resolver isso, escolhendo a ordem de integração que facilita mais. Para isso, vamos precisar entender como descrever a região
e aplicar a teoria das integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A curva
pode ser reescrita como
. No primeiro quadrante,
varia de 1 a 2. Então, para cada
entre 1 e 2,
vai de 0 até
. Isso porque quando
,
, e quando
,
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Então, nossos limites de integração serão:
-
varia de 1 a 2 - Para cada
, varia de 0 a
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirar fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para
, usamos a integração por partes, onde:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando integração por partes:
Agora, para
, usamos também integração por partes:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando:
Passo 7
Voltando à nossa integral:
Calculando cada parte:
Para
:
-
Em
: -
Em
:
Diferença:
Para
:
-
Em
: -
Em
:
Diferença:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão geral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.