Determine o integral geral das EDOs:
  1. y+y^prime cosec(x)=0
  2. y^2+y=(x^2-x) y^prime
  3. y^prime sen(x)+y cos (x)=0
  4. (1+y^2) d x+(1+x^2) d y=0

Passo 1

O exercício pede para encontrar a integral geral de quatro EDOs de primeira ordem: técnicas necessárias são identificação de equação separável, linear ou reconhecível como derivada de um produto e integração usando frações parciais e integrais usuais.

Passo 2

Para a equação y + y' csc(x) = 0, reescrevemos como y' = -y sin(x), reconhecendo separável em y e x. Assim, dyy = -sin(x),dx. Integramos ambos os lados.

Passo 3

Para a equação y^2 + y = (x^2 - x)y', escrevemos y' = y(y+1)x(x-1) e separamos: 1y(y+1),dy = 1x(x-1),dx. Decompomos em frações parciais de cada lado e integramos.

Passo 4

Para a equação y'sin(x) + ycos(x)=0, observamos que o lado esquerdo é a derivada de ysin(x), pois (ysin(x))' = y'sin(x) + ycos(x). Logo, (ysin(x))'=0 e integramos diretamente.

Passo 5

Para a equação (1+y^2),dx + (1+x^2),dy = 0, reorganizamos em forma separável dy1+y^2 = -dx1+x^2 e integramos ambos os lados, usando a primitiva de 1/(1+u^2).

Resposta

  1. y = Ce^cos(x).
  2. ln!l(tfracyy+1r) = ln!l(tfracx-1xr) + C, equivalente a yy+1=Kx-1x.
  3. ysin(x)=C, ou y=Ccsc(x).
  4. arctan(y) + arctan(x) = C.

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