Um problema fundamental no Cálculo Diferencial é o problema da reta tangente. Usando as regras de derivação apropriadas, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=raiz4-x^2 no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de
f(x)=raiz4-x^2
no ponto de abscissa x=1.
O conteúdo da matéria que vamos usar é o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da reta tangente e a fórmula ponto-inclinação
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Para achar a derivada f'(x) usamos a regra da cadeia em
f(x) = (4 - x^2)^tfrac12
Em detalhe:
f'(x) = tfrac12,(4 - x^2)^-tfrac12 cdot l(-2xr) = -,xraiz4 - x^2

Passo 3

Agora avaliamos f(1) e f'(1):
f(1)=raiz4 - 1^2=raiz3, f'(1)=-,1raiz4 - 1^2=-,1raiz3

Passo 4

Usamos a fórmula ponto-inclinação com (x0,y0)=(1,raiz3) e m=f'(1):
y - raiz3 = -1raiz3,(x - 1)
Para simplificar,
y = -1raiz3,x + 1raiz3 + raiz3 = -1raiz3,x + 4raiz3 = -1raiz3,x + 4raiz33

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -1raiz3,x + 4raiz33

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