Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x}\,dx,
ou seja:
  • Determinar se a integral é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, calcular o seu valor numérico.
As informações dadas são simplesmente a função integranda 2^{-x} e os limites de integração 1 e +\infty.

Passo 2

Transformar a integral imprópria em um limite padrão. Por definição, a integral imprópria é
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x}\,dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{1}^{b} 2^{-x}\,dx.
Então precisamos calcular a primitiva de 2^{-x} e depois tomar o limite quando b\to+\infty.

Passo 3

Achar a primitiva de \,2^{-x}. É útil reescrever 2^{-x} em termos da função exponencial natural:
2^{-x} = e^{-x\ln 2}.
Recordando a regra básica de integração: para constante a\neq0,
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C.
Aqui a = -\ln 2. Aplicando a fórmula,
\int 2^{-x}\,dx = \int e^{-x\ln 2}\,dx = \frac{1}{-\,\ln 2}\,e^{-x\ln 2} + C.
Voltando para a base 2,
\int 2^{-x}\,dx = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C.
(Explicação curta: derivando -\dfrac{2^{-x}}{\ln 2} obtém-se 2^{-x}, porque a derivada de 2^{-x} traz o fator -\ln 2.)

Passo 4

Avaliar a integral definida como diferença de primitivas e aplicar o limite:
\int_{1}^{b} 2^{-x}\,dx = \left[-\frac{2^{-x}}{\ln 2}\right]_{x=1}^{x=b} = -\frac{2^{-b}}{\ln 2} -\left(-\frac{2^{-1}}{\ln 2}\right) = \frac{-2^{-b}+2^{-1}}{\ln 2}.
Portanto
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x}\,dx = \lim_{b\to+\infty}\frac{-2^{-b}+2^{-1}}{\ln 2}.

Passo 5

Calcular o limite \lim_{b\to+\infty}2^{-b}. Como 0<\tfrac{1}{2}<1, temos \left(\tfrac{1}{2}\right)^{b}\to 0 quando b\to+\infty. Formalmente, 2^{-b}=e^{b\ln(1/2)} e \ln(1/2)<0, então o expoente tende a -\infty e a exponencial tende a 0.
Assim o termo 2^{-b} se anula no limite, e sobra
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x}\,dx = \frac{2^{-1}}{\ln 2} = \frac{1}{2\ln 2}.

Passo 6

Interpretação final: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria é convergente, e seu valor é \dfrac{1}{2\ln 2}.
Dica rápida para a prova: sempre que a integranda for uma exponencial do tipo a^{-x} com 0<a<1, a função decai exponencialmente e a integral no infinito tende a convergir; calcule a primitiva usando e^{x\ln a} e avalie o limite.

Resposta

Convergente: \dfrac{1}{2\ln 2}

Exercícios relacionados