Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x} d x
\int_{1}^{+\infty} 2^{-x} d x
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria
ou seja:
- Determinar se a integral é convergente ou divergente.
- Se for convergente, calcular o seu valor numérico.
As informações dadas são simplesmente a função integranda
e os limites de integração
e
.
Passo 2
Transformar a integral imprópria em um limite padrão. Por definição, a integral imprópria é
Então precisamos calcular a primitiva de
e depois tomar o limite quando
.
Passo 3
Achar a primitiva de
. É útil reescrever
em termos da função exponencial natural:
Recordando a regra básica de integração: para constante
,
Aqui
. Aplicando a fórmula,
Voltando para a base
,
(Explicação curta: derivando
obtém-se
, porque a derivada de
traz o fator
.)
Passo 4
Avaliar a integral definida como diferença de primitivas e aplicar o limite:
Portanto
Passo 5
Calcular o limite
. Como
, temos
quando
. Formalmente,
e
, então o expoente tende a
e a exponencial tende a
.
Assim o termo
se anula no limite, e sobra
Passo 6
Interpretação final: o limite existe e é finito, portanto a integral imprópria é convergente, e seu valor é
.
Dica rápida para a prova: sempre que a integranda for uma exponencial do tipo
com
, a função decai exponencialmente e a integral no infinito tende a convergir; calcule a primitiva usando
e avalie o limite.
Resposta
Convergente: