Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{0}^{+\infty} x 2^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} x\,2^{-x}\,dx
é convergente ou divergente; e, se for convergente, calcular o seu valor.
As informações dadas são: a função integranda é x\,2^{-x} e o intervalo de integração é [0,\infty). Observação importante: a integral é imprópria por causa do limite superior infinito; no ponto x=0 a função é bem comportada pois \lim_{x\to0^+} x\,2^{-x}=0.

Passo 2

Primeiro, explico o que significa avaliar uma integral imprópria como esta. Dizemos
\int_{0}^{+\infty} x\,2^{-x}\,dx
como o limite
\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} x\,2^{-x}\,dx.
Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário diverge. Portanto vamos calcular a integral definida \int_{0}^{b} x\,2^{-x}\,dx e depois fazer b\to\infty.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é reescrever a base 2 em termos de exponencial natural, porque integrais com e^{-ax} são fáceis de tratar. Lembrando que 2^{-x}=e^{-x\ln 2}, defino
a=\ln 2>0.
Então a integral vira
\int_{0}^{b} x\,2^{-x}\,dx=\int_{0}^{b} x\,e^{-a x}\,dx.
Agora vou calcular a primitiva de x\,e^{-a x} usando integração por partes.

Passo 4

Relembrando integração por partes: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=x (então du=dx) e dv=e^{-a x}dx (então v=\int e^{-a x}dx=-\frac{1}{a}e^{-a x}). Aplicando:
\int x\,e^{-a x}\,dx = u v - \int v\,du = -\frac{x}{a}e^{-a x} - \int\left(-\frac{1}{a}e^{-a x}\right)dx.
O segundo integral é simples:
-\int\left(-\frac{1}{a}e^{-a x}\right)dx = \frac{1}{a}\int e^{-a x}dx = \frac{1}{a}\left(-\frac{1}{a}e^{-a x}\right) = -\frac{1}{a^{2}}e^{-a x}.
Portanto uma primitiva é
\int x\,e^{-a x}\,dx = -\frac{x}{a}e^{-a x} - \frac{1}{a^{2}}e^{-a x} + C.

Passo 5

Agora aplico a primitiva no intervalo [0,b]:
\int_{0}^{b} x\,e^{-a x}\,dx = \left[-\frac{x}{a}e^{-a x} - \frac{1}{a^{2}}e^{-a x}\right]_{0}^{b}.
Calculo cada termo:
  • Em x=b obtém-se -\dfrac{b}{a}e^{-a b} - \dfrac{1}{a^{2}}e^{-a b}.
  • Em x=0 obtém-se -\dfrac{0}{a}e^{0} - \dfrac{1}{a^{2}}e^{0} = -\dfrac{1}{a^{2}}.
Subtraindo, tem-se
\int_{0}^{b} x\,e^{-a x}\,dx = -\frac{b}{a}e^{-a b} - \frac{1}{a^{2}}e^{-a b} + \frac{1}{a^{2}}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando b\to+\infty. Como a=\ln 2>0, temos e^{-a b}\to 0 muito mais rápido que b cresce; portanto os termos \dfrac{b}{a}e^{-ab} e \dfrac{1}{a^{2}}e^{-ab} vão para zero. Assim
\lim_{b\to+\infty}\int_{0}^{b} x\,e^{-a x}\,dx = 0 + 0 + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{a^{2}}.
Isso mostra que a integral converge. Lembrando a=\ln 2, concluímos
\int_{0}^{+\infty} x\,2^{-x}\,dx = \frac{1}{(\ln 2)^{2}}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: reconhecer 2^{-x}=e^{-x\ln 2} é chave. Outra observação útil é que, de forma geral,
\int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-a x}\,dx=\frac{n!}{a^{\,n+1}}
para inteiro n\ge0 (caso particular usado aqui com n=1 \dfrac{1}{a^{2}}). Isso ajuda a calcular rapidamente integrais desse tipo sem repetir a integração por partes toda vez. Força aí — dá pra gabaritar essas integrais com prática!

Resposta

\dfrac{1}{(\ln 2)^{2}}

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