Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{0}^{+\infty} x 2^{-x} d x
\int_{0}^{+\infty} x 2^{-x} d x
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente; e, se for convergente, calcular o seu valor.
As informações dadas são: a função integranda é e o intervalo de integração é
. Observação importante: a integral é imprópria por causa do limite superior infinito; no ponto
a função é bem comportada pois
.
As informações dadas são: a função integranda é
Passo 2
Primeiro, explico o que significa avaliar uma integral imprópria como esta. Dizemos
como o limite
Se esse limite existir e for finito, a integral converge; caso contrário diverge. Portanto vamos calcular a integral definida
e depois fazer
.
Passo 3
Uma técnica útil aqui é reescrever a base
em termos de exponencial natural, porque integrais com
são fáceis de tratar. Lembrando que
, defino
Então a integral vira
Agora vou calcular a primitiva de
usando integração por partes.
Passo 4
Relembrando integração por partes: se
e
são diferenciáveis, então
Escolho
(então
) e
(então
). Aplicando:
O segundo integral é simples:
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Agora aplico a primitiva no intervalo
:
Calculo cada termo:
- Em
obtém-se . - Em
obtém-se .
Subtraindo, tem-se
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Como
, temos
muito mais rápido que
cresce; portanto os termos
e
vão para zero. Assim
Isso mostra que a integral converge. Lembrando
, concluímos
Passo 7
Dica rápida para a prova: reconhecer
é chave. Outra observação útil é que, de forma geral,
para inteiro
(caso particular usado aqui com
dá
). Isso ajuda a calcular rapidamente integrais desse tipo sem repetir a integração por partes toda vez. Força aí — dá pra gabaritar essas integrais com prática!