Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente, se for convergente, calcule-a.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
e, se convergente, calculá-la. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e comportamento assintótico de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a definição de integral imprópria dividindo em duas integrais próprias:
Passo 3
Para testar a convergência em
, examinamos o comportamento de
.
Sabendo que
Sabendo que
para
então
Como
é divergente quando
(pela dominância do
), concluímos que
Passo 4
Para testar a convergência em
, fazemos análise similar. Para
,
então
Mas
cresce exponencialmente quando
(trocando de variável, dá novamente uma parte divergente), de forma que
ou é divergente em módulo.
Passo 5
Como nenhuma das duas partes converge (cada limite é divergente), a integral imprópria
é divergente.
Portanto, a integral não converge e não há valor numérico a ser calculado.
é divergente.
Portanto, a integral não converge e não há valor numérico a ser calculado.
Resposta
A integral é divergente.