Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente, se for convergente, calcule-a.
integral-infty^+infty x cosh x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria integral-infty^+infty xcosh x,dx e, se convergente, calculá-la. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e comportamento assintótico de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição de integral imprópria dividindo em duas integrais próprias:
integral-infty^+infty xcosh x,dx = limAto-inftyintegralA^0 xcosh x,dx + limBto+inftyintegral0^B xcosh x,dx

Passo 3

Para testar a convergência em +infty, examinamos o comportamento de xcosh x.
Sabendo que
cosh x = e^x+e^-x2,
para xto+infty temos
cosh x sim e^x2,
então
xcosh x sim x e^x2
Como
integral0^B x e^x,dx
é divergente quando Bto+infty (pela dominância do e^x), concluímos que
limBto+inftyintegral0^B xcosh x,dx = +infty

Passo 4

Para testar a convergência em -infty, fazemos análise similar. Para xto-infty,
cosh x sim e^-x2,
então
xcosh x sim x e^-x2
Mas x e^-x cresce exponencialmente quando xto-infty (trocando de variável, dá novamente uma parte divergente), de forma que
limAto-inftyintegralA^0 xcosh x,dx = -infty
ou é divergente em módulo.

Passo 5

Como nenhuma das duas partes converge (cada limite é divergente), a integral imprópria
integral-infty^+infty xcosh x,dx
é divergente.
Portanto, a integral não converge e não há valor numérico a ser calculado.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados