Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente, se for convergente, calcule-a.
integral0^+infty 2^-x d x

Passo 1

A gente precisa analisar a integral imprópria integral0^+infty2^-x,dx. O assunto aqui é integral imprópria com limite infinito e função exponencial decrescente. Vamos usar limite e a antiderivada de 2^-x.

Passo 2

Como o upper limit é infinito, reescrevemos a integral usando um parâmetro A:
integral0^+infty2^-x,dx = limAto+inftyintegral0^A2^-x,dx

Passo 3

Para calcular integral2^-x,dx reconhecemos que 2^-x=e^-xln2. A antiderivada é
integral e^-xln2,dx = -1ln2e^-xln2+C = -2^-xln2+C

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e o limite:
limAto+inftyl[-tfrac2^-xln2r]0^A = limAto+inftyl(-tfrac2^-Aln2+tfrac2^0ln2r)
Como 2^-Ato0 quando Ato+infty, sobra 1/ln2.

Resposta

Convergente e igual a 1ln2.

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