O enunciado quer a integral de superfície , onde é a parte lateral do cone dado por entre os planos e . O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície paramétrica e precisaremos usar parametrização e o cálculo de via produto vetorial.
Passo 2
Para parametrizar a superfície lateral do cone (isto é, com ), escolhemos coordenadas cilíndricas adaptadas à forma do cone:
Nós definimos
com e .
Em seguida calculamos os vetores tangentes:
O elemento de área da superfície é dado por
Fazendo o produto vetorial e sua norma, obtemos
llVertrztimesrthetarrVert=raiz2,z
Passo 3
Agora montamos a integral. Como x=zcostheta, temos x^2=z^2cos^2theta. Logo
integral duplaS x^2,dS =integralz=2^3integraltheta=0^2pil(z^2cos^2thetar),l(raiz2,zr),dtheta,dz
O raciocínio usou a teoria de parametrização de superfícies e o cálculo de dS via produto vetorial, além da separação das integrais em z e theta e da identidade integral0^2picos^2theta,dtheta=pi.