Determine integralS integral x^2 d S, onde S é a superfície que delimita o sólido formado pelo cone z^2=x^2+y^2 entre os planos z=2 e z=3.
[
\left(\frac{65 \pi \sqrt{2}}{4} \mathrm{~m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado quer a integral de superfície integral duplaS x^2,dS, onde S é a parte lateral do cone dado por z^2=x^2+y^2 entre os planos z=2 e z=3. O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície paramétrica e precisaremos usar parametrização e o cálculo de dS via produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar a superfície lateral do cone z^2=x^2+y^2 (isto é, z=raizx^2+y^2 com 2<= z<=3), escolhemos coordenadas cilíndricas adaptadas à forma do cone:
Nós definimos
r(z,theta)=l(x(z,theta),,y(z,theta),,zr)=l(zcostheta,;zsintheta,;zr)
com 2<= z<=3 e 0<=theta<=2pi.
Em seguida calculamos os vetores tangentes:
rz=(costheta,;sintheta,;1), rtheta=(-zsintheta,;zcostheta,;0)
O elemento de área da superfície é dado por
dS=llVertrztimesrthetarrVert,dz,dtheta
Fazendo o produto vetorial e sua norma, obtemos
llVertrztimesrthetarrVert=raiz2,z

Passo 3

Agora montamos a integral. Como x=zcostheta, temos x^2=z^2cos^2theta. Logo
integral duplaS x^2,dS =integralz=2^3integraltheta=0^2pil(z^2cos^2thetar),l(raiz2,zr),dtheta,dz
Isso é
raiz2integral2^3 z^3,dz integral0^2picos^2theta,dtheta =raiz2cdot654cdotpi =65piraiz24

Passo 4

O raciocínio usou a teoria de parametrização de superfícies e o cálculo de dS via produto vetorial, além da separação das integrais em z e theta e da identidade integral0^2picos^2theta,dtheta=pi.

Resposta

65piraiz24

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