Determine a integral indefinida da função x cdot arct(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de xcdotarct(x). Esse é um problema de cálculo de integrais, e a técnica mais adequada aqui é a integração por partes.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes escolhendo
u = arct(x), então
u’ = dfrac11+x^2 e
dv = x,dx, de onde
v = integral x,dx = x^22.
Pela fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du, temos:
integral x,arct(x),dx = x^22,arct(x) - integral x^22cdot11+x^2,dx

Passo 3

Precisamos agora avaliar
integral x^21+x^2,dx
Note que
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2,
então
integral x^21+x^2,dx = integral 1,dx - integral 11+x^2,dx = x - arct(x)

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão inicial e simplificando, obtemos:
integral x,arct(x),dx = x^22arct(x) - 12l(x - arct(x)r) + C
que se reorganiza em
12l(x^2+1r)arct(x) - x2 + C

Resposta

integral x,arct(x),dx = 12(x^2+1)arct(x) - x2 + C.

Exercícios relacionados