Em cada item, determine o gradiente da função f no ponto P. Sugestão. Use o exercício anterior.
(g) f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x, P=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o gradiente da função f(x,y,z)=x e^y+y e^z+z e^x no ponto P=(0,0,0). O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e formação do vetor gradiente.

Passo 2

Lembrando que o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
Para partial fpartial x, tratamos y,z como constantes:
partial fpartial x=partialpartial xl(x e^yr)+partialpartial xl(y e^zr)+partialpartial xl(z e^xr)=e^y+0+z e^x=e^y+z e^x
Para partial fpartial y:
partial fpartial y=x e^y+e^z+0=x e^y+e^z
Para partial fpartial z:
partial fpartial z=0+y e^z+e^x=y e^z+e^x

Passo 4

Agora avaliamos essas expressões em P=(0,0,0). Como e^0=1 e x=y=z=0, temos:
partial fpartial x(0,0,0)=1+0=1,
partial fpartial y(0,0,0)=0+1=1,
partial fpartial z(0,0,0)=0+1=1

Passo 5

Portanto, o gradiente de f no ponto (0,0,0) é o vetor formado por essas componentes.

Resposta

nabla f(0,0,0)=(1,1,1)

Exercícios relacionados