Seja f(x, y)=llx^3+y^3x^2+y^2 & (x, y) neq(0,0) ; 0 & (x, y)=(0,0)
Mostre que f é contínua em (0,0) usando a definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer mostrar que a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) . Para isso, vamos usar a definição de limite. O que isso significa? Basicamente, precisamos provar que, conforme $ (x, y) $ se aproxima de (0,0), o valor de $ f(x, y) $ se aproxima de $ f(0,0) $, que nesse caso é 0. Então, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e usar algumas técnicas para calcular esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de (a, b) for igual a $ f(a, b) $. No nosso caso, queremos que:
f(x, y)
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e mostrar que ele é igual a zero.

Passo 3

Vamos olhar para a expressão de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \neq (0,0) $:
f(x, y)
Para calcular o limite quando $ (x, y) $ se aproxima de (x, y) neq (0,0) , uma estratégia útil é usar coordenadas polares. Isso simplifica a expressão e facilita a análise do comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 4

Vamos converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
Onde $ r $ é a distância do ponto r até a origem (x, y), e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $. Quando $ (x, y) $ se aproxima de (0,0), isso significa que $ r $ está se aproximando de 0.

Passo 5

Substituindo $ x $ e $ y $ por suas expressões em coordenadas polares na função $ f(x, y) $, temos:
x
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular os numeradores e denominadores:
Numerador:
(r costheta)^3 + (r sintheta)^3 = r^3 cos^3theta + r^3 sin^3theta = r^3 (cos^3theta + sin^3theta)
Denominador:
(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + sin^2theta)
Sabemos que $ \cos^{2}{\theta} + \sin^{2}{\theta} = 1 $, então o denominador simplifica para $ r^{2} $.

Passo 7

Agora, substituindo de volta na expressão de $ f(x, y) $:
f(x, y)
Então, a função $ f(x, y) $ em coordenadas polares fica:
f(x, y) = r^3 (cos^3theta + sin^3theta)r^2 = r (cos^3theta + sin^3theta)

Passo 8

Agora, queremos calcular o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r $ se aproxima de 0:
f(r, theta)
Vamos analisar esse limite. Note que $ \cos^{3}{\theta} + \sin^{3}{\theta} $ é uma expressão que depende de $ \theta $, mas $ r $ está multiplicando essa expressão.

Passo 9

Sabemos que $ \cos^{3}{\theta} $ e $ \sin^{3}{\theta} $ estão sempre entre -1 e 1, então $ \cos^{3}{\theta} + \sin^{3}{\theta} $ está entre -2 e 2. Isso significa que a expressão:
cos^3theta
Portanto:
sin^3theta

Passo 10

Agora, vamos considerar o limite de $ |f(r, \theta)| $ quando $ r \to 0 $:
|f(r, theta)|
Isso significa que $ |f(r, \theta)| $ pode ser tornando tão pequeno quanto quisermos ao fazer $ r $ suficientemente pequeno. Portanto, o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r \to 0 $ é 0.

Resposta

Assim, mostramos que:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0,0)
Portanto, a função $ f $ é contínua em f .

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