Seja
Mostre que
é contínua em
usando a definição de limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer mostrar que a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de limite. O que isso significa? Basicamente, precisamos provar que, conforme $ (x, y) $ se aproxima de
, o valor de $ f(x, y) $ se aproxima de $ f(0,0) $, que nesse caso é 0. Então, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de duas variáveis e usar algumas técnicas para calcular esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de
for igual a $ f(a, b) $. No nosso caso, queremos que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite e mostrar que ele é igual a zero.
Passo 3
Vamos olhar para a expressão de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) \neq (0,0) $:
Para calcular o limite quando $ (x, y) $ se aproxima de
, uma estratégia útil é usar coordenadas polares. Isso simplifica a expressão e facilita a análise do comportamento da função perto do ponto de interesse.
Passo 4
Vamos converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Onde $ r $ é a distância do ponto
até a origem
, e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $. Quando $ (x, y) $ se aproxima de
, isso significa que $ r $ está se aproximando de 0.
Passo 5
Substituindo $ x $ e $ y $ por suas expressões em coordenadas polares na função $ f(x, y) $, temos:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular os numeradores e denominadores:
Numerador:
Denominador:
Sabemos que $ \cos^{2}{\theta} + \sin^{2}{\theta} = 1 $, então o denominador simplifica para $ r^{2} $.
Passo 7
Agora, substituindo de volta na expressão de $ f(x, y) $:
Então, a função $ f(x, y) $ em coordenadas polares fica:
Passo 8
Agora, queremos calcular o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r $ se aproxima de 0:
Vamos analisar esse limite. Note que $ \cos^{3}{\theta} + \sin^{3}{\theta} $ é uma expressão que depende de $ \theta $, mas $ r $ está multiplicando essa expressão.
Passo 9
Sabemos que $ \cos^{3}{\theta} $ e $ \sin^{3}{\theta} $ estão sempre entre -1 e 1, então $ \cos^{3}{\theta} + \sin^{3}{\theta} $ está entre -2 e 2. Isso significa que a expressão:
Portanto:
Passo 10
Agora, vamos considerar o limite de $ |f(r, \theta)| $ quando $ r \to 0 $:
Isso significa que $ |f(r, \theta)| $ pode ser tornando tão pequeno quanto quisermos ao fazer $ r $ suficientemente pequeno. Portanto, o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r \to 0 $ é 0.
Resposta
Assim, mostramos que:
Portanto, a função $ f $ é contínua em
.