Determine se a integral integral1^infty 1x d x é convergente ou divergente.

Passo 1

A questão quer analisar a convergência da integral imprópria de 1 até ∞ da função f(x)=1/x. O conteúdo envolvido é teste de convergência de integrais impróprias e precisamos usar antiderivada e limites.

Passo 2

Reescrevemos a integral imprópria como um limite:
integral1^infty1x,dx = limbtoinftyintegral1^b1x,dx
Calculamos a integral definida de 1 até b. A antiderivada de 1/x é ln x, logo:
integral1^b1x,dx = [ln x]1^b = ln b - ln 1 = ln b
Agora avaliamos o limite quando btoinfty:
limbtoinftyln b = +infty
Como o resultado do limite é infinito, a integral não se aproxima de um valor finito.
Portanto, pelo teste de convergência de integrais impróprias (e também pelo caso especial da p-integral com p=1), concluímos que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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