Seja R a região delimitada pelas curvas y=x e y=x^2.
Calcule a área de R.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a área da região R limitada pelas curvas y=x e y=x^2. O assunto é cálculo de integrais definidas e precisaremos encontrar os pontos de interseção e montar a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para determinar os limites de integração, igualamos as funções: x = x^2. Assim,
x^2 - x = 0
o que implica x(x-1)=0. Logo, as soluções são x=0 e x=1.

Passo 3

Precisamos verificar qual curva está acima no intervalo [0,1]. Como x >= x^2 para 0<= x<=1, a curva y=x é a fronteira superior e y=x^2 a inferior. Então a área é dada por
A = integral0^1 l(x - x^2r),dx

Passo 4

Agora, calculamos a integral separando em duas partes:
integral0^1 x,dx = x^22|0^1 = 12,
integral0^1 x^2,dx = x^33|0^1 = 13

Passo 5

Subtraindo essas parcelas, obtemos
A = 12 - 13 = 16

Resposta

A área da região R é tfrac16.

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