( 5,0 pontos) Calcule as integrais e justifique suas respostas:
(2,0 pontos) integral 10(x-1)(x^2+9) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 10(x-1)(x^2+9) dx. Esse problema está ligado ao conteúdo de integração de funções racionais, que geralmente usamos a frações parciais para resolver. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor 10(x-1)(x^2+9) em frações parciais. Assumimos que:
10(x-1)(x^2+9) = Ax-1 + Bx + Cx^2+9
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(x^2+9) para eliminar as frações:
10 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 1)

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
10 = A x^2 + 9A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
10 = (A + B)x^2 + ( - B + C )x + (9A - C)

Passo 5

Para que a igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes correspondentes dos termos x^2, x e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 0 - B + C = 0 9A - C = 10

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: $ B = -A $
  2. Da segunda equação: $ C = B = -A $
  3. Substituindo B = -A na terceira equação:
C = B = -A
Então, $ B = -1 $ e $ C = -1 $.

Passo 7

Agora que temos A, B e C, a decomposição fica:
10(x-1)(x^2+9) = 1x-1 + -x - 1x^2+9
Podemos separar isso em duas integrais:
integral 1x-1 dx - integral x + 1x^2+9 dx

Passo 8

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral 1x-1 dx = ln|x-1| + C1
Segunda integral:
integral xx^2+9 dx e integral 1x^2+9 dx
Para integral xx^2+9 dx, fazemos a substituição u = x^2+9, então du = 2x dx, o que resulta em 12 ln|x^2+9|.
Para integral 1x^2+9 dx, sabemos que é 13 tan^-1(x3).

Passo 9

Combinando as integrais:
ln|x-1| - ( 12 ln|x^2+9| + 13 tan^-1(x3) ) + C
Simplificando:
ln|x-1| - 12 ln(x^2+9) - 13 tan^-1(x3) + C

Resposta

A integral é igual a:
ln|x-1| - 12 ln(x^2+9) - 13 tan^-1(x3) + C

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