( 5,0 pontos) Calcule as integrais e justifique suas respostas: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está ligado ao conteúdo de integração de funções racionais, que geralmente usamos a frações parciais para resolver. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor em frações parciais. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que a igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes correspondentes dos termos , e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados da equação. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ B = -A $
Da segunda equação: $ C = B = -A $
Substituindo B = -A na terceira equação:
C = B = -A
Então, $ B = -1 $ e $ C = -1 $.
Passo 7
Agora que temos A, B e C, a decomposição fica:
10(x-1)(x^2+9) = 1x-1 + -x - 1x^2+9
Podemos separar isso em duas integrais:
integral 1x-1 dx - integral x + 1x^2+9 dx
Passo 8
Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral 1x-1 dx = ln|x-1| + C1
Segunda integral:
integral xx^2+9 dx e integral 1x^2+9 dx
Para integral xx^2+9 dx, fazemos a substituição u = x^2+9, então du = 2x dx, o que resulta em 12 ln|x^2+9|.
Para integral 1x^2+9 dx, sabemos que é 13 tan^-1(x3).