Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a restrição
e
. Quais as distâncias dos pontos identificados para
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos z no plano complexo tais que Im(1 + i z) = 2 e |Re(1 + i z)| = 3, e depois calcular a distância de cada um desses pontos até zₐ = -2 - i.
O conteúdo envolvido é manipular conjugado de número complexo e extrair parte real e parte imaginária para montar as equações que definem uma reta (ou retas) no plano. Vamos precisar também da fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo.
Passo 2
Seja z = x + i y. Então o conjugado z = x - i y e
Aqui temos Re(1 + i z) = 1 + y e Im(1 + i z) = x.
Passo 3
Impondo as condições do enunciado:
-
Im(1 + i z) = x = 2.
-
|Re(1 + i z)| = |1 + y| = 3, portanto1 + y = 3 ⇒ y = 2
ou
1 + y = -3 ⇒ y = -4.
Logo os dois pontos são z₁ = 2 + 2i e z₂ = 2 - 4i.
Passo 4
Para cada ponto zₖ (k=1,2), a distância até zₐ = -2 - i é
Para z₁ = 2 + 2i:
Para z₂ = 2 - 4i:
Resposta
As distâncias de ambos os pontos (2+2i e 2−4i) até −2−i são 5.