Represente no plano complexo, todos os pontos que satisfazem a restrição Im(1+i barz)=2 e |Re(1+i barz)|=3. Quais as distâncias dos pontos identificados para z a=-2-i

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos z no plano complexo tais que Im(1 + i  z) = 2 e |Re(1 + i  z)| = 3, e depois calcular a distância de cada um desses pontos até zₐ = -2 - i.
O conteúdo envolvido é manipular conjugado de número complexo e extrair parte real e parte imaginária para montar as equações que definem uma reta (ou retas) no plano. Vamos precisar também da fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo.

Passo 2

Seja z = x + i y. Então o conjugado  z = x - i y e
1 + i, z = 1 + i(x - i y) = 1 + i x + y = (1 + y) + i x 
Aqui temos Re(1 + i  z) = 1 + y e Im(1 + i  z) = x.

Passo 3

Impondo as condições do enunciado:
  1. Im(1 + i  z) = x = 2.
  2. |Re(1 + i  z)| = |1 + y| = 3, portanto
    1 + y = 3 ⇒ y = 2
    ou
    1 + y = -3 ⇒ y = -4.
Logo os dois pontos são z₁ = 2 + 2i e z₂ = 2 - 4i.

Passo 4

Para cada ponto zₖ (k=1,2), a distância até zₐ = -2 - i é
|zₖ - zₐ| = raiz(Re(zₖ) - Re(zₐ))^2 + (Im(zₖ) - Im(zₐ))^2
Para z₁ = 2 + 2i:
|z₁ - zₐ| = |(2 - (-2)) + i(2 - (-1))| = |4 + 3i| = 5
Para z₂ = 2 - 4i:
|z₂ - zₐ| = |(2 - (-2)) + i(-4 - (-1))| = |4 - 3i| = 5

Resposta

As distâncias de ambos os pontos (2+2i e 2−4i) até −2−i são 5.

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