Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral-infty^0 1(x-1)^3 d x

Passo 1

Neste exercício, a gente tem uma integral imprópria do tipo integral-infty^0 1(x-1)^3,dx. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias em intervalo infinito, e vamos usar o conceito de limite para lidar com -infty, além de calcular a primitiva da função.

Passo 2

Vamos reescrever a integral como limite:
integral-infty^0 1(x-1)^3,dx = limato -infty integrala^0 (x-1)^-3,dx
Dessa forma transformamos o problema em verificar se o limite existe e é finito.

Passo 3

Precisamos da primitiva de (x-1)^-3. Usando a regra integral (x-1)^n,dx = (x-1)^n+1n+1+C (para n neq -1), com n=-3, temos:
integral (x-1)^-3,dx = (x-1)^-2-2 = -12,(x-1)^2 + C

Passo 4

Agora aplicamos os limites de a até 0 nessa primitiva:
integrala^0 (x-1)^-3,dx = -12(0-1)^2 - l(-12(a-1)^2r) = -12 + 12(a-1)^2
Quando ato -infty, temos (a-1)^2 to +infty e, portanto, 12(a-1)^2to 0. Isso mostra que o limite é finito.

Passo 5

Concluímos que a integral converge e seu valor é -tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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