Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
Neste exercício, a gente tem uma integral imprópria do tipo
. O conteúdo é análise de convergência de integrais impróprias em intervalo infinito, e vamos usar o conceito de limite para lidar com
, além de calcular a primitiva da função.
Passo 2
Vamos reescrever a integral como limite:
Dessa forma transformamos o problema em verificar se o limite existe e é finito.
Passo 3
Precisamos da primitiva de
. Usando a regra
(para
), com
, temos:
Passo 4
Agora aplicamos os limites de
até
nessa primitiva:
Quando
, temos
e, portanto,
. Isso mostra que o limite é finito.
Passo 5
Concluímos que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
-\tfrac12