Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
$ \sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{1}{n^{2}+7}$
$ \sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{1}{n^{2}+7}$
Passo 1
Temos a série alternada
com
. O conteúdo é o teste de séries alternadas (teste de Leibniz), que exige dois requisitos: (i)
é decrescente e (ii)
.
Passo 2
Para (i), consideramos a função
para
. Calculando a derivada:
Como
Para (ii), observamos que
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.
Passo 3
Pelo teste de Leibniz, como
é decrescente e tende a zero, a série alternada converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Comparando com a
Resposta
A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de séries alternadas e, como converge também absolutamente, ela converge.