Determine se a série (a) verifica as condiçōes (i) e (ii) para o teste das séries alternadas (11.30), e (b) converge ou diverge.
$ \sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1} \frac{1}{n^{2}+7}$

Passo 1

Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^n-1,bn com bn=tfrac1n^2+7. O conteúdo é o teste de séries alternadas (teste de Leibniz), que exige dois requisitos: (i) bn é decrescente e (ii) limntoinftybn=0.

Passo 2

Para (i), consideramos a função f(x)=tfrac1x^2+7 para x>0. Calculando a derivada:
f'(x)=-2x(x^2+7)^2<0para x>0
Como f' é negativa, f(x) é estritamente decrescente, logo bn+1 para todo n.
Para (ii), observamos que
limntoinftybn=limntoinfty1n^2+7=0
Portanto, a segunda condição também está satisfeita.

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, como bn é decrescente e tende a zero, a série alternada converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1bnr|=sumn=1^infty1n^2+7
Comparando com a p-série sum1/n^2 (com p=2>1), concluímos que sum1/(n^2+7) converge. Assim, a série é absolutamente convergente.

Resposta

A série satisfaz as condições (i) e (ii) do teste de séries alternadas e, como converge também absolutamente, ela converge.

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