Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral-infty^2 15-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da integral imprópria integral-infty^215-2x,dx e, se convergir, calcular seu valor. Trata-se de um caso com limite inferior infinito.

Passo 2

Definimos a integral como limite: integral-infty^215-2x,dx=limato-inftyintegrala^215-2x,dx

Passo 3

Calculamos a integral indefinida de 15-2x. Com a substituição u=5-2x, temos du=-2,dx e dx=-tfrac12,du, logo: integral15-2x,dx=integral1ul(-tfrac12,dur)=-tfrac12ln|u|+C=-tfrac12ln|5-2x|+C

Passo 4

Agora avaliamos de x=a até x=2: integrala^215-2x,dx=l[-tfrac12ln|5-2x|r]a^2= -tfrac12ln|5-4| +tfrac12ln|5-2a|=tfrac12ln|5-2a|

Passo 5

Por fim, fazemos ato-infty. Como 5-2ato+infty, temos limato-inftytfrac12ln(5-2a)=+infty Logo a integral não converge: diverge.

Passo 6

Portanto, a integral diverge (tende a +\infty).

Resposta

A integral diverge (vai para +\infty).

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