Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral1^infty 1x^3 / 4 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência de
integral1^infty 1x^3/4,dx
Esse tipo de integral imprópria cai no “teste-p”: integras do tipo integral1^infty x^-pdx convergem se e somente se p>1. Aqui p=3/4<1, mas vamos também calcular para confirmar.

Passo 2

Começamos encontrando a antiderivada de x^-3/4:
integral x^-3/4,dx= x^1-3/41-3/4= x^1/41/4=4x^1/4
Então a integral de 1 a t é
integral1^tx^-3/4,dx=4l(t^1/4-1r)

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ttoinfty:
limttoinfty4l(t^1/4-1r)=infty,
ou seja, o valor cresce sem limite. Isso confirma que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge, pois o limite do valor acumulado é infinito.

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