Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral imprópria de 0 a ∞ de
, decidindo se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é integral imprópria e cálculo de limites de funções exponenciais.
Passo 2
Para tratar a impropriedade no infinito, usamos a definição:
Se esse limite existir e for finito, a integral converge.
Precisamos encontrar uma antiderivada de . Sabemos que:
Precisamos encontrar uma antiderivada de
Aplicando isso aos limites de 0 a
:
Passo 3
Agora calculamos o limite quando
:
Passo 4
Como o limite é finito, a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral converge e vale
.