Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral0^infty e^-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria de 0 a ∞ de e^-2x, decidindo se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. O conteúdo envolvido é integral imprópria e cálculo de limites de funções exponenciais.

Passo 2

Para tratar a impropriedade no infinito, usamos a definição:
integral0^infty e^-2x ,dx=limbtoinfty integral0^b e^-2x ,dx
Se esse limite existir e for finito, a integral converge.
Precisamos encontrar uma antiderivada de e^-2x. Sabemos que:
integral e^-2x ,dx=-12e^-2x+C
Aplicando isso aos limites de 0 a b:
integral0^b e^-2x ,dx=l[-tfrac12e^-2xr]0^b=-tfrac12e^-2b+tfrac12e^0=tfrac12l(1-e^-2br)

Passo 3

Agora calculamos o limite quando btoinfty:
limbtoinftytfrac12l(1-e^-2br)=tfrac12l(1-0r)=tfrac12

Passo 4

Como o limite é finito, a integral converge e seu valor é tfrac12.

Resposta

A integral converge e vale tfrac12.

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