Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
A integral dada é
que pertence ao conteúdo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar escrever a integral como limite e usar o teste-p de convergência em infinito.
Passo 2
Observamos que o integrando
é contínuo em todo o intervalo
, pois a única singularidade em
está fora desse intervalo. Então reescrevemos a integral imprópria:
Passo 3
Para avaliar a convergência como
, estudamos o comportamento de
quando
é muito negativo. Para
, temos
então
Aplicamos o teste-p: a integral
converge somente se o expoente
. Aqui
, logo esta integral diverge.
Passo 4
Como a parte em
diverge, concluímos que a integral imprópria original também diverge.
Resposta
A integral diverge.