Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral-infty^0 1(x-8)^2 / 3 d x

Passo 1

A integral dada é
integral-infty^0 1(x-8)^2/3,dx
que pertence ao conteúdo de integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar escrever a integral como limite e usar o teste-p de convergência em infinito.

Passo 2

Observamos que o integrando f(x)=1(x-8)^2/3 é contínuo em todo o intervalo ( -infty,0 ], pois a única singularidade em x=8 está fora desse intervalo. Então reescrevemos a integral imprópria:
integral-infty^0 1(x-8)^2/3,dx = limAto -infty integralA^0 1(x-8)^2/3,dx

Passo 3

Para avaliar a convergência como Ato -infty, estudamos o comportamento de f(x) quando x é muito negativo. Para xto -infty, temos
|x-8|sim |x|,
então
1(x-8)^2/3 sim 1|x|^2/3
Aplicamos o teste-p: a integral
integral1^infty duu^2/3
converge somente se o expoente p>1. Aqui p=2/3<=1, logo esta integral diverge.

Passo 4

Como a parte em -infty diverge, concluímos que a integral imprópria original também diverge.

Resposta

A integral diverge.

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