Determine se a sequência an=raizn+19 n+2 converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência e queremos descobrir se ela chama no infinito (converge) ou se fica sem direção (diverge). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções, especialmente das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na fração dentro da raiz: n+19n+2 approx n9n = 19 . Quando fica muito grande, os termos com no numerador e no denominador são os que mais pesam. Então, podemos simplificar a fração descartando os termos constantes:
Isso nos dá uma ideia de para onde a fração está indo quando aumenta.

Passo 3

Agora que vimos que raizn+19n+2 approx raiz19 = 13 tende para , vamos aplicar a raiz quadrada nessa aproximação. Como a raiz é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro dela:
Isso indica que a sequência está se aproximando de à medida que cresce.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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