Determine se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
e queremos descobrir se ela chama no infinito (converge) ou se fica sem direção (diverge). Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções, especialmente das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na fração dentro da raiz:
. Quando
fica muito grande, os termos com
no numerador e no denominador são os que mais pesam. Então, podemos simplificar a fração descartando os termos constantes:
Isso nos dá uma ideia de para onde a fração está indo quando
aumenta.
Passo 3
Agora que vimos que
tende para
, vamos aplicar a raiz quadrada nessa aproximação. Como a raiz é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro dela:
Isso indica que a sequência
está se aproximando de
à medida que
cresce.
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.