Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
Passo 1
A questão pede para a gente ver se a integral imprópria
converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias e simetria de funções ímpares.
Passo 2
Para checar convergência, podemos dividir a integral em duas:
Em cada parte, quando ou , temos
o que faz ambas as integrais convergirem (pois integral^infty1/x^3dx converge).
Passo 3
Note que a função
f(x)=xx^4+9
é ímpar, porque f(-x)=-x(-x)^4+9=-f(x)
Para funções ímpares integradas num intervalo simétrico de -A a A, o valor é zero.
Passo 4
Para reforçar, podemos calcular
$ \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^{4}+9} ,dx $ usando a substituição integral0^infty xx^4+9 ,dx , de modo que u=x^2:
du=2x,dx
Logo, de integral0^infty xx^4+9 ,dx = 12 integral0^infty duu^2+9 = 12 cdot pi2cdot3 = pi12 a 0 a integral vale -infty e de 0 a -pi/12) vale infty, somando zero.