Estude e caracterize os pontos críticos de
restrita à região
dada:
é a região triangular fechada de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar e caracterizar os pontos críticos da função
restrita à região triangular
com vértices em
,
e
. Isso envolve entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela dentro dessa região. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos internos) e também analisar os limites da região triangular para possíveis pontos críticos na borda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando ambas a zero:
Então, temos um ponto crítico interno em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular
. A região
tem vértices em
,
e
. Observando, vemos que
está entre
e
, e
está entre
e
, então o ponto
está dentro da região
.
Passo 4
Em seguida, vamos analisar os pontos críticos nas bordas da região triangular
. A região é formada por três lados:
- De
a : essa é a base no eixo , onde . - De
a : essa é a hipotenusa, que podemos expressar pela equação da reta entre esses pontos. - De
a : essa é a altura vertical onde .
Vamos analisar cada lado separadamente.
Passo 5
Primeiro lado:
.
Substituindo na função
:
Essa é uma função linear em
, então não há pontos críticos internos nesse lado. Os extremos ocorrerão nos vértices
e
.
Passo 6
Segundo lado: De
a
.
Vamos encontrar a equação dessa reta. A inclinação
é:
Então, a equação da reta é:
Agora, substituímos
na função
:
Simplificando:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Agora, verificamos
, então temos o ponto
.
Passo 7
Terceiro lado:
.
Substituindo na função
:
Essa também é uma função linear em
, sem pontos críticos internos. Os extremos estão nos vértices
e
.
Passo 8
Agora, vamos resumir os pontos críticos encontrados:
- Interno:
- Na hipotenusa:
- Nos vértices:
, ,
Resposta
Os pontos críticos da função
na região triangular
são:
- Interno:
- Na hipotenusa:
- Nos vértices:
, ,