Estude e caracterize os pontos críticos de f restrita à região B dada:
f(x, y)=3+x y-x-2 y, B é a região triangular fechada de vértices (1,0),(5,0) e (1,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar e caracterizar os pontos críticos da função restrita à região triangular com vértices em , e . Isso envolve entender onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela dentro dessa região. Para resolver, a gente vai precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde elas são iguais a zero (pontos críticos internos) e também analisar os limites da região triangular para possíveis pontos críticos na borda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função fx = partial fpartial x = y - 1 . Para isso, calculamos as derivadas parciais de fy = partial fpartial y = x - 2 em relação a y - 1 = 0 Rightarrow y = 1 e x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 e igualamos a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando ambas a zero:
Então, temos um ponto crítico interno em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro da região triangular . A região tem vértices em , e . Observando, vemos que está entre e , e está entre e , então o ponto está dentro da região .

Passo 4

Em seguida, vamos analisar os pontos críticos nas bordas da região triangular . A região é formada por três lados:
  1. De a : essa é a base no eixo , onde .
  2. De a : essa é a hipotenusa, que podemos expressar pela equação da reta entre esses pontos.
  3. De a : essa é a altura vertical onde .
Vamos analisar cada lado separadamente.

Passo 5

Primeiro lado: f(x, 0) = 3 + x cdot 0 - x - 2 cdot 0 = 3 - x .
Substituindo na função :
Essa é uma função linear em , então não há pontos críticos internos nesse lado. Os extremos ocorrerão nos vértices e .

Passo 6

Segundo lado: De m = 4 - 01 - 5 = 4-4 = -1 a y - 0 = -1(x - 5) Rightarrow y = -x + 5 .
Vamos encontrar a equação dessa reta. A inclinação f(x, -x + 5) = 3 + x(-x + 5) - x - 2(-x + 5) é:
f(x) = 3 - x^2 + 5x - x + 2x - 10 = -x^2 + 6x - 7
Então, a equação da reta é:
f'(x) = -2x + 6 = 0 Rightarrow x = 3
Agora, substituímos na função :
Simplificando:
Para encontrar os extremos, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Agora, verificamos , então temos o ponto .

Passo 7

Terceiro lado: f(1, y) = 3 + 1 cdot y - 1 - 2y = 2 - y .
Substituindo na função :
Essa também é uma função linear em , sem pontos críticos internos. Os extremos estão nos vértices e .

Passo 8

Agora, vamos resumir os pontos críticos encontrados:
  • Interno:
  • Na hipotenusa:
  • Nos vértices: , ,

Resposta

Os pontos críticos da função na região triangular são:
  • Interno:
  • Na hipotenusa:
  • Nos vértices: , ,

Exercícios relacionados