Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral0^infty x1+x^2 d x

Passo 1

O exercício pede estudar a convergência da integral imprópria integral0^infty x1+x^2,dx. Estamos no conteúdo de integrais impróprias, onde precisamos verificar limites de integrais definidas até infinito. Para resolver, vamos reescrever a integral como um limite, calcular a antiderivada e analisar o comportamento desse limite.

Passo 2

Reescrevemos a integral imprópria como limbtoinftyintegral0^b x1+x^2,dx. Isso é padrão: quando o limite de integração vai até infinito, substituímos pelo parâmetro b e depois avaliamos limbtoinfty.

Passo 3

Para calcular integral x1+x^2,dx, fazemos a substituição u=1+x^2, então du=2x,dx e x,dx=tfracdu2. Assim
integral x1+x^2,dx = 12integral duu = 12ln|u| + C = 12ln(1+x^2) + C

Passo 4

Voltando à integral com limite, temos
integral0^b x1+x^2,dx = [12ln(1+x^2)]0^b = 12ln(1+b^2) - 0 = 12ln(1+b^2)
Agora analisamos
limbtoinfty 12ln(1+b^2) = infty
Como o limite diverge, concluímos que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge.

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