Determine se a integral a seguir converge ou diverge, e calcule o limite da que é convergente.
integral-infty^0 e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
integral-infty^0 e^x,dx
converge ou diverge e, caso convergente, calcular o seu valor. O conteúdo aqui é de integrais impróprias de tipo I (limite no infinito) e vamos precisar usar a definição via limite.

Passo 2

Para lidar com o infinito no limite inferior, reescrevemos a integral como um limite de integrais definidas:
integral-infty^0 e^x,dx = limato -infty integrala^0 e^x,dx
Isso transforma o problema em avaliar um limite de uma integral comum.

Passo 3

Agora calculamos a integral definida usando a primitiva de e^x.
integrala^0 e^x,dx = l[e^xr]a^0 = e^0 - e^a = 1 - e^a

Passo 4

Faltou só aplicar o limite em ato -infty. Como
limato -infty e^a = 0,
segue que
limato -infty (1 - e^a) = 1 - 0 = 1
Como esse limite é finito, a integral converge e o seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e o seu valor é 1.

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