Determine se a integral a seguir converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu valor.
integral0^1 ln x d x

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a integral integral0^1 ln x , dx converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como lidar com a função logarítmica ( ln x) que tem comportamento especial perto de 0.

Passo 2

Primeiro, observamos que ln x está definida para x > 0. Quando x se aproxima de 0, ln x tende a -infty. Isso significa que a integral integral0^1 ln x , dx é uma integral imprópria porque o limite inferior de integração ( x = 0) faz a função tender ao infinito.

Passo 3

Para avaliar se essa integral converge ou diverge, vamos reescrevê-la usando limites. A integral fica:
lima to 0^+ integrala^1 ln x , dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral ln x , dx. A gente usa integração por partes para isso. Vamos deixar u = ln x e dv = dx. Então, derivamos u e integramos dv:
du = 1x dx v = x
Então, a integral por partes fica:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
lima to 0^+ [ x ln x - x ]a^1
Vamos calcular isso:
Para x = 1:
1 cdot ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1
Para x = a:
a ln a - a
Então, a expressão fica:
lima to 0^+ [ (-1) - (a ln a - a) ] = lima to 0^+ ( -1 - a ln a + a )

Passo 6

Agora, analisamos o limite lima to 0^+ (a ln a). Sabemos que conforme a se aproxima de 0, ln a tende a -infty, mas a tende a 0. O produto a ln a tende a 0, porque a “domina” o crescimento de ln a.
Então:
lima to 0^+ (-1 - 0 + 0) = -1

Resposta

A integral integral0^1 ln x , dx converge e seu valor é -1.

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