Determine se a integral a seguir converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu valor.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e como lidar com a função logarítmica (
) que tem comportamento especial perto de 0.
Passo 2
Primeiro, observamos que
está definida para
. Quando
se aproxima de 0,
tende a
. Isso significa que a integral
é uma integral imprópria porque o limite inferior de integração (
) faz a função tender ao infinito.
Passo 3
Para avaliar se essa integral converge ou diverge, vamos reescrevê-la usando limites. A integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. A gente usa integração por partes para isso. Vamos deixar
e
. Então, derivamos
e integramos
:
Então, a integral por partes fica:
Passo 5
Voltando à nossa integral original:
Vamos calcular isso:
Para
:
Para
:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, analisamos o limite
. Sabemos que conforme
se aproxima de 0,
tende a
, mas
tende a 0. O produto
tende a 0, porque
“domina” o crescimento de
.
Então:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.