Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
ln (|1-x|) m) sen(x)x

Passo 1

Temos duas funções para analisar: f(x)=lnl(|1-x|r) e g(x)=sin(x)x. O que a gente vai precisar é: para o domínio, entender onde cada função está bem definida; para assíntotas verticais, achar pontos de descontinuidade em que o valor da função explode; e para assíntotas horizontais, calcular limites em xtopminfty.

Passo 2

Função f(x)=lnl(|1-x|r): o logaritmo natural exige argumento estritamente positivo, ou seja,
|1-x|>0
Isso vale para todo x exceto x=1, pois |1-1|=0 não é permitido. Assim o domínio é
- (-infty,1)cup(1,infty).

Passo 3

Agora, para assíntotas verticais, olhamos o comportamento quando xto1^pm. Nesse ponto |1-x|to0^+ e
lnl(|1-x|r)to-infty,
logo temos uma assíntota vertical em x=1. Para assíntotas horizontais analisamos xtopminfty:
|1-x|sim|x|toinftyimplieslnl(|1-x|r)simln|x|to+infty,
não há assíntotas horizontais, pois o valor cresce sem limite.

Passo 4

Função g(x)=dfracsin(x)x: por ser quociente, precisamos de xneq0. Então o domínio é
  • ( -infty,0 )cup(0,infty).
    Em x=0 a função não está definida, mas o limite existe e é finito:
limxto0sin(x)x=1,
então é uma descontinuidade removível, não assíntota vertical. Para assíntota horizontal avaliamos xtopminfty:
|sin(x)x|<=1|x|to0, então
limxtopminftysin(x)x=0, o que nos dá a assíntota horizontal y=0.

Resposta

Para ln(|1-x|): domínio (-infty,1)cup(1,infty), assíntota vertical em x=1 e sem assíntotas horizontais.
Para sin(x)/x: domínio Rsetminus0=(-infty,0)cup(0,infty), sem assíntotas verticais e com assíntota horizontal y=0.

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