Determine a integral integral sen^2 x cos ^2 x d x.
Escolha uma opção:
x8-132 sen 4 x+C
x8-132 sen 2 x+C
x8-132 cos 2 x+C
x8+132 sen 2 x+C
x8+132 cos 4 x+C
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sin^2 x cos^2 x , dx. Esse exercício envolve cálculo de integrais que utilizam identidades trigonométricas. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas de identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^2 x cos^2 x. Sabemos que sin^2 x = 1 - cos 2x2 e cos^2 x = 1 + cos 2x2. Então, vamos substituir:
sin^2 x cos^2 x = (1 - cos 2x2) (1 + cos 2x2)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as duas frações:
(1 - cos 2x2) (1 + cos 2x2) = (1 - cos 2x)(1 + cos 2x)4
Note que (1 - cos 2x)(1 + cos 2x) é uma forma de a^2 - b^2, que simplifica para 1 - cos^2 2x.
Então:
1 - cos^2 2x4

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos 2theta2 novamente para cos^2 2x:
1 - cos^2 2x = sin^2 2x = 1 - cos 4x2
Substituindo de volta:
1 - cos^2 2x4 = sin^2 2x4 = 1 - cos 4x8

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
integral sin^2 x cos^2 x , dx = integral 1 - cos 4x8 , dx = 18 integral (1 - cos 4x) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
18 integral 1 , dx - 18 integral cos 4x , dx
A integral de 1 em relação a x é x, e a integral de cos 4x é sin 4x4. Então:
18 x - 18 cdot sin 4x4 + C = x8 - sin 4x32 + C

Resposta

A integral é igual a x8 - 132 sin 4x + C.

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