Determine a integral integral sen^5 2 theta cos ^3 2 theta d theta
Escolha uma opção:
112 cos ^6 2 theta-116 sen^8 2 theta+C
112 sen^6 2 theta+116 sen^8 2 theta+C
Nenhuma das demais alternativas
112 sen^6 2 theta-116 sen^8 2 theta+C
112 cos ^6 2 theta-116 cos ^8 2 theta+C
112 sen^6 2 theta+116 cos ^8 2 theta+C

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos. A questão pede para calcular a integral de sen^5 2theta cos^3 2theta , dtheta. Para isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente usando substituição. Vamos precisar lembrar como manipular potências de seno e cosseno e aplicar a regra de substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
integral sen^5 2theta cos^3 2theta , dtheta
Podemos simplificar essa expressão separando os fatores de seno e cosseno. Vamos reescrever sen^5 2theta como sen^4 2theta cdot sen 2theta e cos^3 2theta como cos^2 2theta cdot cos 2theta. Assim:
integral sen^4 2theta cdot sen 2theta cdot cos^2 2theta cdot cos 2theta , dtheta

Passo 3

Agora, observamos que temos sen 2theta cdot cos 2theta , dtheta, que é uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
u = sen 2theta du = 2 cos 2theta , dtheta Rightarrow du2 = cos 2theta , dtheta

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de u:
integral sen^4 2theta cdot sen 2theta cdot cos^2 2theta cdot cos 2theta , dtheta = integral sen^4 2theta cdot cos^2 2theta cdot ( sen 2theta cdot cos 2theta , dtheta )
Substituindo u e du:
= integral sen^4 2theta cdot cos^2 2theta cdot du2

Passo 5

Agora, precisamos expressar cos^2 2theta em termos de u. Sabemos que:
cos^2 2theta = 1 - sen^2 2theta = 1 - u^2
Substituindo na integral:
= 12 integral u^4 (1 - u^2) , du = 12 integral ( u^4 - u^6 ) , du

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
12 ( integral u^4 , du - integral u^6 , du ) = 12 ( u^55 - u^77 ) + C = 110 u^5 - 114 u^7 + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sen 2theta:
= 110 sen^5 2theta - 114 sen^7 2theta + C

Passo 8

Vamos comparar essa expressão com as opções fornecidas. Nenhuma delas corresponde exatamente a essa solução. Portanto, a resposta correta é:

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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