Determine se os campos vetoriais a seguir são ou não conservativos, em caso afirmativo encontre a função varphi tal que nabla varphi=F.
F(x, y)=(2 x-3 y,-3 x+4 y-8)

Passo 1

O campo dado é F(x,y)=(2x-3y,,-3x+4y-8). A tarefa é decidir se existe uma função escalar varphi tal que nablavarphi=F. Em R^2 simplesmente conexo, isso equivale a verificar se partial P/partial y=partial Q/partial x, onde P=2x-3y e Q=-3x+4y-8.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial Ppartial y=partial(2x-3y)partial y=-3 e partial Qpartial x=partial(-3x+4y-8)partial x=-3. Como são iguais, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial varphi(x,y), integramos P(x,y)=2x-3y em relação a x, introduzindo uma função arbitrária de y:
varphi(x,y)=integral(2x-3y),dx = x^2 - 3xy + h(y)

Passo 4

Agora impomos que partialvarphi/partial y = Q(x,y). Como
partialvarphipartial y = -3x + h'(y)
devemos ter -3x + h'(y) = -3x + 4y - 8, o que leva a h'(y)=4y-8.

Passo 5

Integramos h'(y)=4y-8 em relação a y e obtemos h(y)=2y^2-8y + C, permitindo montar a função potencial completa.

Resposta

varphi(x,y)=x^2 - 3xy + 2y^2 - 8y + C

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