Resolva a integral por frações parciais (fatores lineares e quadráticos distintos):
integral x+1x^3+x d x

Passo 1

Estamos resolvendo a integral integral x+1x^3+x,dx usando o método de frações parciais (conteúdo de integrais de funções racionais com fatores lineares e quadráticos distintos). Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e decompor em parcelas simples.

Passo 2

Observe que o denominador se fatora como x^3+x=x(x^2+1).
Proponha a decomposição em frações parciais: x+1x(x^2+1)=Ax+Bx+Cx^2+1

Passo 3

Multiplique ambos os lados por x(x^2+1) para obter x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)x. Expandindo, temos x+1=(A+B)x^2+Cx+A.

Passo 4

Compare coeficientes de potências de x: do termo x^2 vem A+B=0, do termo x vem C=1, e do termo independente vem A=1. Logo A=1,;B=-1,;C=1.

Passo 5

Substitua na integral: integral x+1x^3+x,dx=integrall(1x+-x+1x^2+1r)dx=integral1x,dx+integral-xx^2+1,dx+integral1x^2+1,dx

Passo 6

Calcule cada parte: integral1x,dx=ln|x|, integral-xx^2+1,dx=-tfrac12ln(x^2+1) (pela substituição u=x^2+1), e integral1x^2+1,dx=arctan(x).

Resposta

ln|x|-tfrac12ln(x^2+1)+arctan(x)+C

Exercícios relacionados