Determine a integral de superfície vetorial
onde o campo vetorial é
e a superfície
é o hemisfério superior da esfera
, localizada dentro do cilindro
e orientada com normal apontando para fora da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície vetorial juntos! O exercício pede para calcular a integral
onde o campo vetorial é
e a superfície
é o hemisfério superior da esfera
, dentro do cilindro
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. É o hemisfério superior de uma esfera de raio 3 (já que
), cortado pelo cilindro
. Para facilitar, podemos reescrever a equação do cilindro completando o quadrado:
Isso representa um cilindro circular de raio
centrado em
.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
onde
é o volume delimitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para nosso
:
Passo 5
Agora, a integral de volume se torna:
Então, precisamos calcular o volume do espaço limitado pelo hemisfério superior e dentro do cilindro.
Passo 6
Para calcular o volume
, podemos usar coordenadas cilíndricas, já que temos simetria em relação ao cilindro. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O cilindro
em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 7
As limites para
e
são dados pela interseção do cilindro e do hemisfério. Como estamos no hemisfério superior,
varia de 0 até
.
Então, os limites de integração são:
-
de a (para cobrir toda a região onde é real). -
de 0 a . -
de 0 a .
Passo 8
Agora, expressamos o volume em coordenadas cilíndricas:
Integrando em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular a integral interna em
. Substituindo
, então
, ou
. Mudando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então,
Passo 10
Agora, a integral do volume se torna:
Sabemos que
porque a função
é ímpar e o intervalo é simétrico.
Portanto,
Passo 11
Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
A integral de superfície vetorial é
.