Determine a integral de superfície vetorial
integral duplaS F cdot d S
onde o campo vetorial é F(x, y, z)=(x, y, z) e a superfície S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=9, localizada dentro do cilindro x^2+y^2=3 x e orientada com normal apontando para fora da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície vetorial juntos! O exercício pede para calcular a integral
integral duplaS F cdot dS
onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (x, y, z) e a superfície S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=9, dentro do cilindro x^2+y^2=3x. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. É o hemisfério superior de uma esfera de raio 3 (já que 9 = 3^2), cortado pelo cilindro x^2+y^2=3x. Para facilitar, podemos reescrever a equação do cilindro completando o quadrado:
x^2 - 3x + y^2 = 0 (x - 32)^2 + y^2 = (32)^2
Isso representa um cilindro circular de raio 32 centrado em (32, 0, z).

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
onde V é o volume delimitado pela superfície S.

Passo 4

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para nosso F(x, y, z) = (x, y, z):
nabla cdot F = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Agora, a integral de volume se torna:
integral triplaV 3 , dV = 3 cdot Volume(V)
Então, precisamos calcular o volume do espaço limitado pelo hemisfério superior e dentro do cilindro.

Passo 6

Para calcular o volume V, podemos usar coordenadas cilíndricas, já que temos simetria em relação ao cilindro. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta y = r sin theta z = z
O cilindro x^2 + y^2 = 3x em coordenadas cilíndricas fica:
r^2 = 3r cos theta r = 3 cos theta

Passo 7

As limites para r e theta são dados pela interseção do cilindro e do hemisfério. Como estamos no hemisfério superior, z varia de 0 até raiz9 - r^2.
Então, os limites de integração são:
  • theta de -pi2 a pi2 (para cobrir toda a região onde r = 3 cos theta é real).
  • r de 0 a 3 cos theta.
  • z de 0 a raiz9 - r^2.

Passo 8

Agora, expressamos o volume em coordenadas cilíndricas:
Volume(V) = integral-pi2^pi2 integral0^3 cos theta integral0^raiz9 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Integrando em z primeiro:
integral0^raiz9 - r^2 dz = raiz9 - r^2
Então, a integral fica:
Volume(V) = integral-pi2^pi2 integral0^3 cos theta r raiz9 - r^2 , dr , dtheta

Passo 9

Vamos calcular a integral interna em r. Substituindo u = 9 - r^2, então du = -2r dr, ou r dr = -12 du. Mudando os limites:
  • Quando r = 0, u = 9.
  • Quando r = 3 cos theta, u = 9 - 9 cos^2 theta = 9 sin^2 theta.
Então,
integral0^3 cos theta r raiz9 - r^2 , dr = -12 integral9^9 sin^2 theta raizu , du = 12 [ 23 u^3/2 ]9 sin^2 theta^9 = 13 ( 9^3/2 - (9 sin^2 theta)^3/2 ) = 13 ( 27 - 27 sin^3 theta ) = 9 (1 - sin^3 theta)

Passo 10

Agora, a integral do volume se torna:
Volume(V) = integral-pi2^pi2 9 (1 - sin^3 theta) , dtheta = 9 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta - integral-pi2^pi2 sin^3 theta , dtheta ]
Sabemos que integral-a^a sin^3 theta , dtheta = 0 porque a função sin^3 theta é ímpar e o intervalo é simétrico.
Portanto,
Volume(V) = 9 ( pi - 0 ) = 9pi

Passo 11

Finalmente, aplicando o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot dS = 3 cdot Volume(V) = 3 cdot 9pi = 27pi

Resposta

A integral de superfície vetorial é 27pi.

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