Suponha que z esteja definida implicitamente em função de x e y pela equação
x z^2+y^2 arctan (y+z)+x y^2=1
Pondo F(x, y, z)=x z^2+y^2 arctan (y+z)+x y^2-1,
calcule Fx, Fy e Fz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja, vamos encontrar , e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que ajuda a entender como uma função muda quando uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Vamos começar calculando F(x, y, z) = x z^2 + y^2 arctan (y+z) + x y^2 - 1 , a derivada parcial de partialpartial x (x z^2) = z^2 em relação a partialpartial x ( y^2 arctan (y+z) ) = 0 . Derivada parcial significa que a gente olha como a função muda quando apenas partialpartial x (x y^2) = y^2 muda, mantendo partialpartial x (-1) = 0 e Fx = z^2 + y^2 fixos.
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  1. Primeiro termo:
    A derivada de em relação a é 1, então:
  2. Segundo termo:
    Como e são constantes em relação a , a derivada desse termo em relação a é 0:
  3. Terceiro termo:
    Similar ao primeiro termo:
  4. Quarto termo:
    A derivada de uma constante é 0:
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 3

Agora vamos calcular partialpartial y (x z^2) = 0 , a derivada parcial de partialpartial y ( y^2 arctan (y+z) ) = 2y arctan(y+z) + y^2 cdot 11 + (y+z)^2 em relação a partialpartial y (x y^2) = 2x y . A ideia é ver como a função muda quando apenas partialpartial y (-1) = 0 muda, mantendo Fy = 2y arctan(y+z) + y^21 + (y+z)^2 + 2x y e fixos.
Derivando cada termo em relação a :
  1. Primeiro termo:
    Como e são constantes em relação a , a derivada desse termo é 0:
  2. Segundo termo:
    Aqui temos um produto, então usamos a regra do produto:
    • Derivada de é .
    • Derivada de em relação a é .
  3. Terceiro termo:
    A derivada de em relação a é :
  4. Quarto termo:
    A derivada de uma constante é 0:
Somando todas as derivadas:

Passo 4

Por fim, vamos calcular partialpartial z (x z^2) = 2x z , a derivada parcial de partialpartial z ( y^2 arctan (y+z) ) = y^2 cdot 11 + (y+z)^2 em relação a partialpartial z (x y^2) = 0 . Isso nos mostra como a função muda quando apenas partialpartial z (-1) = 0 muda, mantendo Fz = 2x z + y^21 + (y+z)^2 e fixos.
Derivando cada termo em relação a :
  1. Primeiro termo:
    Usamos a regra da potência:
  2. Segundo termo:
    A derivada de em relação a é :
  3. Terceiro termo:
    Como e são constantes em relação a , a derivada desse termo é 0:
  4. Quarto termo:
    A derivada de uma constante é 0:
Somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de Fx = z^2 + y^2 são:
Fy = 2y arctan(y+z) + y^21 + (y+z)^2 + 2x y
Fz = 2x z + y^21 + (y+z)^2

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