Suponha que
esteja definida implicitamente em função de
e
pela equação
Pondo
,
calcule
e
.
calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Ou seja, vamos encontrar
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que ajuda a entender como uma função muda quando uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Vamos começar calculando
, a derivada parcial de
em relação a
. Derivada parcial significa que a gente olha como a função muda quando apenas
muda, mantendo
e
fixos.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
-
Primeiro termo:A derivada de
em relação a é 1, então: -
Segundo termo:Como
e são constantes em relação a , a derivada desse termo em relação a é 0: -
Terceiro termo:Similar ao primeiro termo:
-
Quarto termo:A derivada de uma constante é 0:
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 3
Agora vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. A ideia é ver como a função muda quando apenas
muda, mantendo
e
fixos.
Derivando cada termo em relação a
:
-
Primeiro termo:Como
e são constantes em relação a , a derivada desse termo é 0: -
Segundo termo:Aqui temos um produto, então usamos a regra do produto:
- Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é .
- Derivada de
-
Terceiro termo:A derivada de
em relação a é : -
Quarto termo:A derivada de uma constante é 0:
Somando todas as derivadas:
Passo 4
Por fim, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Isso nos mostra como a função muda quando apenas
muda, mantendo
e
fixos.
Derivando cada termo em relação a
:
-
Primeiro termo:Usamos a regra da potência:
-
Segundo termo:A derivada de
em relação a é : -
Terceiro termo:Como
e são constantes em relação a , a derivada desse termo é 0: -
Quarto termo:A derivada de uma constante é 0:
Somando todas as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de
são: