Determine a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: $ \int (\tan 2x)^2 \sec 2x , dx $. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que $ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 $. Então, podemos reescrever $ (\tan 2x)^2 $ assim:
Isso simplifica a integral para:
Passo 3
Agora, distribuímos o $ \sec 2x $ dentro dos parênteses:
Então, a integral original se divide em duas partes que vamos resolver separadamente.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral: $ \int \sec^3 2x , dx $. Para isso, usamos uma técnica padrão para integrais de $ \sec^3 u $. A fórmula é:
No nosso caso, $ u = 2x $, então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral: $ \int \sec 2x , dx $. Sabemos que:
Substituindo $ u = 2x $:
Passo 6
Voltando à nossa expressão dividida:
Substituímos pelas soluções encontradas:
Passo 7
Observamos que os termos de logaritmo se cancelam:
Resposta
A integral $ \int (\tan 2x)^2 \sec 2x , dx $ é igual a $ \frac{1}{2} \sec 2x \tan 2x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.