Determine a integral integral(tg 2 x)^2 sec 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: $ \int (\tan 2x)^2 \sec 2x , dx $. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que $ \tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 $. Então, podemos reescrever $ (\tan 2x)^2 $ assim:
tan^2 theta = sec^2 theta - 1
Isso simplifica a integral para:
(tan 2x)^2

Passo 3

Agora, distribuímos o $ \sec 2x $ dentro dos parênteses:
sec 2x
Então, a integral original se divide em duas partes que vamos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral: $ \int \sec^3 2x , dx $. Para isso, usamos uma técnica padrão para integrais de $ \sec^3 u $. A fórmula é:
integral sec^3 2x , dx
No nosso caso, $ u = 2x $, então substituindo:
sec^3 u

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral: $ \int \sec 2x , dx $. Sabemos que:
integral sec 2x , dx
Substituindo $ u = 2x $:
integral sec u , du = ln |sec u + tan u| + C

Passo 6

Voltando à nossa expressão dividida:
integral sec^3 2x , dx - integral sec 2x , dx
Substituímos pelas soluções encontradas:
( 12 sec 2x tan 2x + 12 ln |sec 2x + tan 2x| ) - ( 12 ln |sec 2x + tan 2x| ) + C

Passo 7

Observamos que os termos de logaritmo se cancelam:
12 sec 2x tan 2x + 12 ln |sec 2x + tan 2x| - 12 ln |sec 2x + tan 2x| + C = 12 sec 2x tan 2x + C

Resposta

A integral $ \int (\tan 2x)^2 \sec 2x , dx $ é igual a $ \frac{1}{2} \sec 2x \tan 2x + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
integral (tan 2x)^2 sec 2x , dx

Exercícios relacionados