Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
Passo 1
O exercício nos dá a EDO linear de 1ª ordem com condição inicial. Em notação, queremos achar a função y(x) que satisfaz
Esse é um problema de EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro colocamos no padrão y’ + p(x)y = q(x). Aqui
y temos p(x)=\tan(x) e q(x)=\cos^2(x). O fator integrante é
y temos p(x)=\tan(x) e q(x)=\cos^2(x). O fator integrante é
Como
, vem
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
para obter
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Passo 4
Logo a equação fica
Integrando ambos os lados em relação a x,
Agora isolamos y:
Passo 5
Para determinar C usamos a condição y(0)=-1. Em x=0:
Portanto a solução é
Resposta
y(x)=\cos(x)\bigl(\sin(x)-1\bigr)