Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
ly^prime+[tg(x)] y=cos ^2(x) y(0)=-1

Passo 1

O exercício nos dá a EDO linear de 1ª ordem com condição inicial. Em notação, queremos achar a função y(x) que satisfaz
y' + tan(x),y = cos^2(x), y(0)=-1
Esse é um problema de EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro colocamos no padrão y’ + p(x)y = q(x). Aqui
y temos p(x)=\tan(x) e q(x)=\cos^2(x). O fator integrante é
mu(x)=expgl(integral p(x),dxgr)=expl(integraltan(x),dxr)
Como integraltan(x),dx=-ln|cos(x)|, vem
mu(x)=exp(-ln|cos(x)|)=1cos(x)=sec(x)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=sec(x) para obter
sec(x)y'+sec(x)tan(x)y=sec(x)cos^2(x)=cos(x)
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada de sec(x)y, pois
(sec(x)y)'=sec(x)y'+sec(x)tan(x)y

Passo 4

Logo a equação fica
(sec(x)y)'=cos(x)
Integrando ambos os lados em relação a x,
integral(sec(x)y)',dx=integralcos(x),dxLongrightarrowsec(x)y=sin(x)+C
Agora isolamos y:
y=cos(x)l(sin(x)+Cr)

Passo 5

Para determinar C usamos a condição y(0)=-1. Em x=0:
y(0)=cos(0)l(sin(0)+Cr)=1cdot(0+C)=C=-1
Portanto a solução é
y(x)=cos(x)l(sin(x)-1r)

Resposta

y(x)=\cos(x)\bigl(\sin(x)-1\bigr)

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