Determine a função f tal que f^prime(x)=3 e^1-3 x e f(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f $ que tem uma derivada $ f^{\prime}(x) = 3 e^{1-3x} $ e que passa pelo ponto $ f(0) = 1 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo conhecido como integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos precisar integrar a função derivada para encontrar $ f(x) $ e depois ajustar a constante usando a condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função derivada $ f^{\prime}(x) = 3 e^{1-3x} $ para encontrar $ f(x) $. A integral de $ e^{ax} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{a} e^{ax} $, onde $ a $ é uma constante.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
f(x) = integral 3 e^1-3x , dx
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = 1 - 3x $, então $ du = -3 dx $ ou $ dx = -\frac{1}{3} du $.

Passo 4

Substituindo na integral:
f(x) = 3 integral e^u (-13) du = - integral e^u du = - e^u + C
Agora, voltando para $ u = 1 - 3x $:
u = 1 - 3x

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $ na equação:
f(0) = 1
Resolvendo para $ C $:
C

Resposta

A função procurada é:
f(x) = - e^1 - 3x + 1 + e

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