Determine a função
tal que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f $ que tem uma derivada $ f^{\prime}(x) = 3 e^{1-3x} $ e que passa pelo ponto $ f(0) = 1 $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo conhecido como integração, que é o processo inverso da derivada. Vamos precisar integrar a função derivada para encontrar $ f(x) $ e depois ajustar a constante usando a condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função derivada $ f^{\prime}(x) = 3 e^{1-3x} $ para encontrar $ f(x) $. A integral de $ e^{ax} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{a} e^{ax} $, onde $ a $ é uma constante.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = 1 - 3x $, então $ du = -3 dx $ ou $ dx = -\frac{1}{3} du $.
Passo 4
Substituindo na integral:
Agora, voltando para $ u = 1 - 3x $:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $ na equação:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
A função procurada é: