Determine
, em que:
(e)
é a região entre as superfícies
e
para
.
(e)
Passo 1
O problema pede calcular a integral tripla
, onde a região
é dada entre as superfícies
(superfície superior) e
(superfície inferior), com
. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever essa integral em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Para achar os limites de integração em
, observamos onde as duas superfícies se cruzam:
Logo, o domínio projetado no plano
é
, e para cada
temos
variando de
até
.
Passo 3
Escrevendo a integral iterada com ordem
:
Passo 4
Primeiro integramos em
, tratando
como constante em relação a
:
Assim a integral vira:
Passo 5
Separamos em duas parcelas:
e
.
- A integral de
sobre vale zero, pois é uma função ímpar em . - A outra parte é
.
Passo 6
Calculamos
:
Portanto a parte com
fica
Passo 7
Agora basta integrar em
de 0 a 3:
Resposta
12