Determine integral triplaT f(x, y, z) d V, em que:
(e) f(x, y, z)=x+y ; T é a região entre as superfícies z=2-x^2 e z=x^2 para 0 <= y <= 3.

Passo 1

O problema pede calcular a integral tripla integral triplaT (x+y),dV, onde a região T é dada entre as superfícies z = 2 - x^2 (superfície superior) e z = x^2 (superfície inferior), com 0 <= y <= 3. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever essa integral em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Para achar os limites de integração em x, observamos onde as duas superfícies se cruzam: x^2 = 2 - x^2 implies 2x^2 = 2 implies x^2 = 1 implies x in [-1,1] Logo, o domínio projetado no plano xy é x in [-1,1],;y in [0,3], e para cada (x,y) temos z variando de x^2 até 2 - x^2.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada com ordem dz,dx,dy: integraly=0^3 integralx=-1^1 integralz=x^2^2 - x^2 (x + y) ,dz,dx,dy

Passo 4

Primeiro integramos em z, tratando x+y como constante em relação a z: integralz=x^2^2-x^2 (x+y),dz = (x+y)l[(2 - x^2) - x^2r] = (x+y)l(2 - 2x^2r) = 2(1 - x^2)(x+y) Assim a integral vira: integraly=0^3 integralx=-1^1 2(1-x^2)(x + y),dx,dy

Passo 5

Separamos em duas parcelas: 2(1-x^2)x e 2(1-x^2)y.
  • A integral de 2x(1-x^2) sobre xin[-1,1] vale zero, pois é uma função ímpar em x.
  • A outra parte é 2yintegral-1^1(1 - x^2),dx.

Passo 6

Calculamos integral-1^1(1 - x^2),dx: integral-1^11,dx - integral-1^1x^2,dx = l[xr]-1^1 - l[tfracx^33r]-1^1 = (1 - (-1)) - l(tfrac13 - (-tfrac13)r) = 2 - tfrac23 = tfrac43 Portanto a parte com y fica 2y cdot tfrac43 = tfrac83y

Passo 7

Agora basta integrar em y de 0 a 3: integral0^3 tfrac83y,dy = tfrac83 cdot l[tfracy^22r]0^3 = tfrac83 cdot tfrac92 = 12

Resposta

12

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