Exercício 6. Sejam um domínio aberto limitado e com fronteira de classe e uma função de classe .
(i) Mostre que
(ii) Mostre que
(iii) Prove que a igualdade do item anterior valer para qualquer função é equivalente ao Teorema da Divergência.
Passo 1
O enunciado considera um domínio aberto e limitado com fronteira de classe e uma função .
Conteúdo: vamos usar o Teorema da Divergência (ou Fórmula de Gauss–Ostrogradski)
repare que o lado esquerdo é um vetor em R^d. Em cada componente j queremos integralOmegapartialj u=integralpartialOmegau,nuj.
Basta aplicar o Teorema da Divergência ao campo vetorial
F^(j)(x)=l(0,dots,0,underbraceu(x)j-ésima,0,dots,0r) é
Juntando as d componentes, vem a fórmula vetorial desejada.
Passo 4
(iii) Suponha que a identidade do item (ii) valha para toda uin C^1(overlineOmega). Dado um campo vetorial F=(F1,dots,Fd)in C^1(overlineOmega; R^d), aplique o item (ii) a cada função u=Fi. Obtemos
integralOmegasumi=1^dpartiali Fi =integralpartialOmegasumi=1^dFi,nui,
isto é, o Teorema da Divergência.
Passo 5
Reciprocamente, se o Teorema da Divergência vale para todo campo Fin C^1(overlineOmega; R^d), então para obter o item (ii) basta escolher F(x)=u(x), ej nas componentes e seguir o mesmo argumento do passo anterior em sentido inverso.
Resposta
(i) e (ii) decorrem diretamente do Teorema da Divergência com escolhas adequadas de F.
(iii) A validade de (ii) para todo uin C^1(overlineOmega) é estritamente equivalente ao Teorema da Divergência.