Exercício 6. Sejam Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1 e u: Omega longrightarrow R uma função de classe C^1(barOmega).
(i) Mostre que
integralOmega De<a u(x) d x=integralpartial Omega partial upartial nu(x) d sigma(x)
(ii) Mostre que
integralOmega nabla u(x) d x=integralpartial Omega u(x) nu(x) d sigma(x)
(iii) Prove que a igualdade do item anterior valer para qualquer função u in C^1(barOmega) é equivalente ao Teorema da Divergência.

Passo 1

O enunciado considera um domínio aberto e limitado OmegasubsetR^d com fronteira de classe C^1 e uma função uin C^1(overlineOmega).
Conteúdo: vamos usar o Teorema da Divergência (ou Fórmula de Gauss–Ostrogradski)
integralOmega nablacdot F(x),dx ;=;integralpartialOmega F(x)cdotnu(x),dsigma(x)
com escolhas adequadas de campo vetorial F.

Passo 2

(i) Para mostrar
integralOmega De<a u(x),dx ;=;integralpartial Omega partial upartial nu(x),dsigma(x),
note que De<a u=nablacdot(nabla u). Aplicando o Teorema da Divergência com F(x)=nabla u(x) obtemos
integralOmegaDe<a u(x),dx =integralOmeganablacdotl(nabla u(x)r),dx =integralpartialOmeganabla u(x)cdotnu(x),dsigma(x)
Mas nabla ucdotnu=partial upartialnu, daí sai o resultado.

Passo 3

(ii) Para mostrar
integralOmeganabla u(x),dx ;=;integralpartialOmegau(x),nu(x),dsigma(x),
repare que o lado esquerdo é um vetor em R^d. Em cada componente j queremos
integralOmegapartialj u=integralpartialOmegau,nuj.
Basta aplicar o Teorema da Divergência ao campo vetorial
F^(j)(x)=l(0,dots,0,underbraceu(x)j-ésima,0,dots,0r) é
Então
integralOmegapartialj u(x),dx =integralOmeganablacdot F^(j)(x),dx =integralpartialOmegaF^(j)(x)cdotnu(x),dsigma(x) =integralpartialOmegau(x),nuj(x),dsigma(x)
Juntando as d componentes, vem a fórmula vetorial desejada.

Passo 4

(iii) Suponha que a identidade do item (ii) valha para toda uin C^1(overlineOmega). Dado um campo vetorial F=(F1,dots,Fd)in C^1(overlineOmega; R^d), aplique o item (ii) a cada função u=Fi. Obtemos
integralOmegapartiali Fi(x),dx =integralpartialOmegaFi(x),nui(x),dsigma(x)
Somando em i=1,dots,d resulta exatamente
integralOmegasumi=1^dpartiali Fi =integralpartialOmegasumi=1^dFi,nui,
isto é, o Teorema da Divergência.

Passo 5

Reciprocamente, se o Teorema da Divergência vale para todo campo Fin C^1(overlineOmega; R^d), então para obter o item (ii) basta escolher F(x)=u(x), ej nas componentes e seguir o mesmo argumento do passo anterior em sentido inverso.

Resposta

(i) e (ii) decorrem diretamente do Teorema da Divergência com escolhas adequadas de F.
(iii) A validade de (ii) para todo uin C^1(overlineOmega) é estritamente equivalente ao Teorema da Divergência.

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