Considere f(x, y, z)=raiz-2 x^2-6 y^2-z^2+1. Encontre o vetor gradiente de f no ponto P= (12 raiz2, 12 raiz6, 12) ?
Escolha uma opção:
a. (raiz2,-raiz6, 1)
b. (raiz2,-raiz6,-1)
c. (-raiz2,-raiz6,-1)
d. (-raiz2, raiz6,-1)
e. (-raiz2,-raiz6, 1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O enunciado pede para encontrarmos o vetor gradiente da função $ f(x, y, z) = \sqrt{-2x^{2} - 6y^{2} - z^{2} + 1} $ no ponto $ P = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{6}}, \frac{1}{2}\right) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente, o conceito de vetor gradiente.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, se temos $ f(x, y, z) $, o gradiente é:
f(x, y, z)
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Usamos a regra da cadeia, porque temos uma função composta (a raiz quadrada envolvendo uma expressão em $ x, y, z $).
f
Simplificando:
x

Passo 4

Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Simplificando:
y

Passo 5

E finalmente, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
f
Simplificando:
z

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
nabla f = ( -2xraiz-2x^2 - 6y^2 - z^2 + 1, -6yraiz-2x^2 - 6y^2 - z^2 + 1, -zraiz-2x^2 - 6y^2 - z^2 + 1 )

Passo 7

Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{6}}, \frac{1}{2}\right) $ na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
P = (12raiz2, 12raiz6, 12)
Então, a raiz quadrada do denominador é $ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $.

Passo 8

Agora, substituímos no gradiente:
nabla f(P) = ( -2 times 12raiz212, -6 times 12raiz612, -1212 ) = ( -1raiz212, -3raiz612, -1 ) = ( -2 times 1raiz2, -2 times 3raiz6, -1 )
Simplificando as frações:
-2 times 1raiz2 = -raiz2 -2 times 3raiz6 = -raiz6

Resposta

O vetor gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é $ \boxed{,(-,\sqrt{2},\ -,\sqrt{6},\ -1),} $, que corresponde à opção c.

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