Considere
. Encontre o vetor gradiente de
no ponto
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O enunciado pede para encontrarmos o vetor gradiente da função $ f(x, y, z) = \sqrt{-2x^{2} - 6y^{2} - z^{2} + 1} $ no ponto $ P = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{6}}, \frac{1}{2}\right) $.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, mais especificamente, o conceito de vetor gradiente.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Ele é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Ou seja, se temos $ f(x, y, z) $, o gradiente é:
Então, nosso objetivo é calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Usamos a regra da cadeia, porque temos uma função composta (a raiz quadrada envolvendo uma expressão em $ x, y, z $).
Simplificando:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 5
E finalmente, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
Passo 7
Vamos substituir as coordenadas do ponto $ P = \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{6}}, \frac{1}{2}\right) $ na expressão do gradiente.
Primeiro, calculamos o denominador:
Então, a raiz quadrada do denominador é $ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $.
Passo 8
Agora, substituímos no gradiente:
Simplificando as frações:
Resposta
O vetor gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é $ \boxed{,(-,\sqrt{2},\ -,\sqrt{6},\ -1),} $, que corresponde à opção c.