Exercício 5. Seja Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções u, v: Omega longrightarrow R e k in1,2, ldots, d, vale a seguinte fórmula de integração por partes
integralOmega v(x) partialk u(x) d x=-integralOmega u(x) partialk v(x) d x+integralpartial Omega u(x) v(x) nuk(x) d sigma(x)

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de integração por partes
integralOmegav,partialku =-integralOmegau,partialkv +integralpartialOmegau,v,nuk
num domínio OmegasubsetR^d com fronteira de classe C^1, usando o Teorema da Divergência. Para isso vamos precisar da identidade do Exercício 2, que é a regra do produto
partialk(u,v) = u,partialkv + v,partialku

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x)=u(x),v(x),ek,
onde ek é o k-ésimo vetor da base canônica. Então, pelo Exercício 2, sua divergência é
nablacdot F =partialkl(u,vr) = u,partialkv + v,partialku

Passo 3

Aplicando o Teorema da Divergência a F sobre Omega, obtemos
integralOmeganablacdot F =integralpartialOmegaFcdotnu =integralpartialOmegau,v,underbrace(ekcdotnu)=nuk =integralpartialOmegau,v,nuk

Passo 4

Substituindo a expressão de nablacdot F na integral de volume, fica
integralOmegal(u,partialkv+v,partialkur) =integralpartialOmegau,v,nuk
Reorganizando para isolar integralOmegav,partialku, vem
integralOmegav,partialku =integralpartialOmegau,v,nuk -integralOmegau,partialkv =-integralOmegau,partialkv +integralpartialOmegau,v,nuk

Resposta

integralOmegav(x),partialku(x),dx =-integralOmegau(x),partialkv(x),dx +integralpartialOmegau(x),v(x),nuk(x),dsigma(x)

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