Exercício 5. Seja um domínio aberto limitado e com fronteira de classe . A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para funções e , vale a seguinte fórmula de integração por partes
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula de integração por partes
num domínio com fronteira de classe , usando o Teorema da Divergência. Para isso vamos precisar da identidade do Exercício 2, que é a regra do produto
Passo 2
Definimos o campo vetorial
onde é o -ésimo vetor da base canônica. Então, pelo Exercício 2, sua divergência é
Passo 3
Aplicando o Teorema da Divergência a sobre , obtemos
Passo 4
Substituindo a expressão de nablacdot F na integral de volume, fica