Determine:
integral0^2(x^2+1) e^-x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = integral0^2 l(x^2+1r)e^-x,dx
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes, possivelmente mais de uma vez, para tratar o polinômio x^2+1 multiplicado por e^-x.

Passo 2

Aplicamos integração por partes na integral I. Tomamos
u = x^2+1, dv = e^-x,dx
então
du = 2x,dx, v = -e^-x
Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du,
vem
I = l(x^2+1r)(-e^-x)|0^2 - integral0^2 l(-e^-xr),(2x,dx) = -l(x^2+1r)e^-x|0^2 + 2integral0^2 x,e^-x,dx

Passo 3

Avaliamo o termo de fronteira:
-l(x^2+1r)e^-x|0^2 = -l(5,e^-2 - 1cdot e^0r) = -l(5,e^-2 - 1r) = 1 - 5,e^-2
Assim
I = 1 - 5,e^-2 + 2integral0^2 x,e^-x,dx

Passo 4

Calculamos agora
J = integral0^2 x,e^-x,dx
por partes de novo, com
u = x, dv = e^-x,dx
resultando em
du = dx, v = -e^-x,
e
J = -x,e^-x|0^2 - integral0^2 l(-e^-xr),dx = -x,e^-x|0^2 + integral0^2 e^-x,dx
Avaliemos cada parte:
-x,e^-x|0^2 = -2,e^-2 - (0) = -2,e^-2,
integral0^2 e^-x,dx = l[-e^-xr]0^2 = -(e^-2-1) = 1 - e^-2
Logo
J = -2,e^-2 + (1 - e^-2) = 1 - 3,e^-2

Passo 5

Voltando a I, temos
I = 1 - 5,e^-2 + 2J = 1 - 5,e^-2 + 2l(1 - 3,e^-2r) = 1 - 5,e^-2 + 2 - 6,e^-2 = 3 - 11,e^-2

Resposta

integral0^2l(x^2+1r)e^-x,dx = 3 - 11,e^-2

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