Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das soluções do problema: (\frac{d^{2} f}{d x^{2}}(x)+P(x) \frac{d f}{d x}(x)+Q(x) f(x)=0), em que § e (Q) são funções contínuas.
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das soluções do problema: (\frac{d^{2} f}{d x^{2}}(x)+P(x) \frac{d f}{d x}(x)+Q(x) f(x)=0), em que § e (Q) são funções contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
onde
e
são funções contínuas em
, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Queremos mostrar que
é (ou não é) um subespaço vetorial de todo o espaço das funções
.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero (a função identicamente nula) pertence a
. Seja
para todo
. Então
Portanto
.
Passo 3
Testamos a clausura em relação à soma. Se
e
estão em
, então para todo
Logo
também satisfaz a equação e pertence a
.
Passo 4
Testamos a clausura em relação à multiplicação por escalar. Se
e
, então
Portanto
.
Resposta
O conjunto das soluções da equação homogênea
é um espaço vetorial.