Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das soluções do problema: (\frac{d^{2} f}{d x^{2}}(x)+P(x) \frac{d f}{d x}(x)+Q(x) f(x)=0), em que § e (Q) são funções contínuas.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
V = l,f:RtoRmid f é duas vezes diferenciável e satisfaz f''(x)+P(x)f'(x)+Q(x)f(x)=0r, éá
onde P e Q são funções contínuas em R, com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Queremos mostrar que V é (ou não é) um subespaço vetorial de todo o espaço das funções RtoR.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (a função identicamente nula) pertence a V. Seja f0(x)=0 para todo x. Então
f0''(x)+P(x)f0'(x)+Q(x)f0(x) =0+P(x)cdot0+Q(x)cdot0 =0
Portanto f0in V.

Passo 3

Testamos a clausura em relação à soma. Se f e g estão em V, então para todo x
[f+g]''+P,(f+g)'+Q,(f+g) =(f''+P,f'+Q,f)+(g''+P,g'+Q,g) =0+0=0
Logo f+g também satisfaz a equação e pertence a V.

Passo 4

Testamos a clausura em relação à multiplicação por escalar. Se fin V e alphainR, então
[alpha f]''+P,[alpha f]'+Q,[alpha f] =alpha,(f''+P,f'+Q,f) =alphacdot0=0
Portanto alpha fin V.

Resposta

O conjunto das soluções da equação homogênea
f''(x)+P(x)f'(x)+Q(x)f(x)=0
é um espaço vetorial.

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