Para todo n \in \mathbb{Z}, n \neq 0,-1, calcule:
(a) \operatorname{mmc}(n, n+1)

Passo 1

O enunciado pede o mínimo múltiplo comum de dois inteiros consecutivos. Mais precisamente:
  • Dados n\in\mathbb{Z} com n\neq 0,-1,
  • Calcular \operatorname{mmc}(n,n+1).

Passo 2

Vou lembrar uma fórmula muito útil que liga máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum. Para quaisquer inteiros a e b não ambos zero vale
\operatorname{mmc}(a,b)\cdot \gcd(a,b)=|ab|.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo, sem pular): seja g=\gcd(a,b). Podemos escrever a=g a' e b=g b' com \gcd(a',b')=1. Os múltiplos comuns de a e b são exatamente os múltiplos de g a' b'; o menor múltiplo comum é g a' b'. Logo
\operatorname{mmc}(a,b)=g a'b'=\frac{g\cdot a'b'\cdot g}{g}=\frac{|ab|}{g}=\frac{|ab|}{\gcd(a,b)}.
Por isso a fórmula acima é válida. Aqui |ab| garante que o mmc seja não negativo (convenção usual).

Passo 3

Agora vamos achar \gcd(n,n+1). Se um inteiro d divide n e também divide n+1, então d divide a diferença
(n+1)-n=1.
Portanto d divide 1, o que só é possível se d=\pm 1. Como \gcd é tomado não negativo, temos
\gcd(n,n+1)=1.
Isso é a forma formal de dizer: inteiros consecutivos são primos entre si (são coprimos).

Passo 4

Aplicando a fórmula do Passo 2 com a=n e b=n+1, e usando que \gcd(n,n+1)=1 do Passo 3, obtemos
\operatorname{mmc}(n,n+1)=\frac{|n(n+1)|}{1}=|n(n+1)|.
Interpretando: o mmc é o produto dos dois (em módulo), pois não há fator comum a cancelar.

Passo 5

Alguns exemplos rápidos para fixar:
  • Se n=5, \operatorname{mmc}(5,6)=|5\cdot6|=30.
  • Se n=-3, \operatorname{mmc}(-3,-2)=|(-3)(-2)|=6.
    Repara que sempre usamos o valor absoluto porque \operatorname{mmc} é não negativo.

Resposta

\operatorname{mmc}(n,n+1)=|n(n+1)|

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