Determine o interior e o fecho de cada conjunto abaixo:
(a) [0,3)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o interior e o fecho (fecho = aderência) do conjunto dado. O conjunto fornecido é [0,3), isto é, todos os números reais x tais que 0 \le x < 3.
Informações relevantes:
O universo é a reta real com a topologia usual (vizinhanças são intervalos abertos).
Perguntas a responder:
Qual é o interior de [0,3)?
Qual é o fecho (aderência) de [0,3)?
Passo 2
Primeiro vou lembrar bem o que significam “interior” e “fecho”, de forma bem clara e prática.
Definição de interior: o interior de um conjunto A é o maior conjunto aberto contido em A. Equivalentemente, x pertence ao interior de A se existe um intervalo aberto centrado em x que esteja totalmente contido em A.
Definição de fecho (aderência): o fecho de A é o menor conjunto fechado que contém A. Equivalentemente, é o conjunto de todos os pontos x tais que qualquer vizinhança aberta de x intersecta A (ou seja, x pertence a A ou é um ponto-limite de A).
Vou usar essas definições diretamente na reta real.
Passo 3
Vou testar primeiro quais pontos de [0,3) são pontos interiores.
Se x é um ponto com 0 < x < 3 (ou seja, x\in(0,3)), então posso construir um intervalo aberto em torno de x que fique dentro de [0,3). Um jeito concreto:
Escolho
r = \min\{x-0,\,3-x\}/2.
Aqui x-0>0 e 3-x>0 porque x está estritamente entre 0 e 3, logo r>0. O intervalo aberto (x-r,x+r) tem comprimento pequeno o suficiente para não ultrapassar 0 nem 3. Portanto (x-r,x+r)\subset[0,3). Isso mostra que todo x\in(0,3) é ponto interior. Logo
(0,3)\subset \operatorname{int}\bigl([0,3)\bigr).
Passo 4
Agora verifico as bordas: 0 e 3.
Para 0: qualquer intervalo aberto centrado em 0 tem forma (- \varepsilon,\varepsilon) para algum \varepsilon>0. Esse intervalo contém pontos negativos (valores menores que 0), e esses pontos não pertencem a [0,3). Logo não existe intervalo aberto ao redor de 0 contido em [0,3). Portanto 0 não é ponto interior.
Para 3: o ponto 3 nem sequer pertence a [0,3), então não pode ser ponto interior.
Com isso concluímos que não há pontos interiores além de (0,3). Portanto o interior é exatamente
\operatorname{int}\bigl([0,3)\bigr) = (0,3).
Passo 5
Agora vou determinar o fecho de [0,3).
Primeiro, todo conjunto contém a si mesmo, então [0,3) \subset \overline{[0,3)} (onde \overline{A} denota o fecho de A). Sei também que [0,3] é um conjunto fechado (é um intervalo fechado na reta real) e contém [0,3). Portanto o fecho \overline{[0,3)}, que é o menor fechado contendo [0,3), deve estar contido em qualquer fechado que contém [0,3); em particular,
\overline{[0,3)} \subset [0,3].
Passo 6
Preciso mostrar que todo ponto de [0,3] pertence ao fecho de [0,3). Já os pontos de [0,3) pertencem ao fecho porque pertencem ao próprio conjunto. Falta mostrar que 3 pertence ao fecho.
Mostro que 3 é ponto de aderência: seja \varepsilon>0. O intervalo aberto (3-\varepsilon,3+\varepsilon) contém números menores que 3 arbitrariamente próximos de 3. Em particular escolho x=3-\varepsilon/2; tem x\in(3-\varepsilon,3+\varepsilon) e x<3, logo x\in[0,3). Assim qualquer vizinhança de 3 intersecta [0,3). Portanto 3\in\overline{[0,3)}.
Juntando com o passo anterior, temos a inclusão oposta
[0,3]\subset \overline{[0,3)}.
Passo 7
Com as inclusões dos passos 5 e 6 obtemos igualdade:
\overline{[0,3)} = [0,3].
Resumo intuitivo: todos os pontos estritamente entre 0 e 3 são interiores; 0 não é interior porque qualquer intervalo ao redor dele “vaza” para a esquerda fora do conjunto; o ponto 3 é um ponto-limite (qualquer vizinhança de 3 toca o conjunto em pontos menores que 3), por isso entra no fecho.