Determine o interior e o fecho de cada conjunto abaixo:
(b) (0,3) \cup(-2,1) \cup(2,5]
Passo 1
O enunciado pede: determinar o interior e o fecho do conjunto
A = (0,3)\cup(-2,1)\cup(2,5].
Informações dadas:
Três intervalos estão sendo unidos: (0,3), (-2,1) e (2,5].
Não há outras restrições nem topologia diferente da usual em \mathbb{R}.
Passo 2
Primeiro vamos entender bem cada intervalo (só descrevendo, sem calcular ainda):
(0,3) é o intervalo aberto que contém todos os x tais que 0<x<3.
(-2,1) é o intervalo aberto que contém todos os x tais que -2<x<1.
(2,5] é o intervalo aberto em 2 e fechado em 5; contém todos os x tais que 2<x\le5.
Passo 3
Vamos combinar os intervalos, observando sobreposição no eixo real. Primeiro junte (-2,1) com (0,3).
As duas interseccionam-se porque existe a parte comum (0,1) (ou seja, qualquer x com 0<x<1 pertence a ambos). Quando dois intervalos abertos se sobrepõem, a união é um único intervalo aberto que vai do menor extremo ao maior extremo:
(-2,1)\cup(0,3)=(-2,3).
Explicando devagar: o menor ponto possível é -2 (não incluído) e o maior ponto atingido por esses dois é 3 (também não incluído, porque (0,3) é aberto em 3).
Passo 4
Agora una o resultado (-2,3) com (2,5].
Há sobreposição porque (2,3) é comum às duas (qualquer x com 2<x<3 está em ambas). Portanto a união forma um único intervalo que vai do menor extremo -2 (não incluído) até o maior extremo 5. Como 5 aparece em (2,5] e está incluído ali, ele permanece incluído na união. Logo
A = (-2,3)\cup(2,5] = (-2,5].
Passo 5
Agora que identificamos A de forma simples, vamos calcular o interior. Lembrete didático: o interior de um conjunto S\subset\mathbb{R}, denotado \operatorname{int}(S), é o maior conjunto aberto contido em S. Para intervalos tipo (a,b] o interior é (a,b) porque todos os pontos estritamente entre a e b têm uma pequena vizinhança contida no conjunto, mas o ponto b (quando está incluído) não tem vizinhança inteira contida no conjunto (qualquer vizinhança de b alcança valores >b que não pertencem ao conjunto).
Aplicando isso a A = (-2,5]:
Todo ponto x com -2<x<5 tem uma vizinhança totalmente contida em A.
O ponto 5 não está em \operatorname{int}(A) porque qualquer intervalo aberto centrado em 5 contém pontos >5 que não pertencem a A.
O ponto -2 nem sequer pertence a A, então também não pode estar no interior.
Portanto
\operatorname{int}(A)=(-2,5).
Passo 6
Agora o fecho (fecho = menor conjunto fechado que contém A, também é o conjunto de todos os pontos de A mais todos os seus pontos de acumulação). Dois modos de ver:
Direto: para o intervalo (-2,5] os pontos de acumulação incluem -2 (pois existem pontos de A arbitrariamente próximos a -2 pela direita) e 5 já está incluído. Assim o menor conjunto fechado contendo A é [-2,5].
Outra via (mais formal usando propriedades): o fecho de uma união finita é a união dos fechos, então