1. Determine o interior e o fecho de cada conjunto abaixo:
(d) ((2,4] \cap[4,6)) \cup(5,7]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o interior e o fecho do conjunto dado. O conjunto fornecido é
((2,4] \cap [4,6)) \cup (5,7].
As perguntas claras são:
  • Qual é o interior do conjunto acima?
  • Qual é o fecho do conjunto acima?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os intervalos envolvidos são (2,4], [4,6) e (5,7].
  • O conjunto final é a união da interseção (2,4] \cap [4,6) com (5,7].

Passo 2

Primeiro simplificamos a interseção (2,4] \cap [4,6).
Explicação curta: (2,4] contém todos os pontos x com 2<x\le4. [4,6) contém todos os pontos x com 4\le x<6. O único ponto comum aos dois é 4 (porque 4 pertence a ambos).
Portanto
(2,4] \cap [4,6) = \{4\}.

Passo 3

Com isso, o conjunto original fica
S=\{4\}\cup(5,7].
Agora vou lembrar as definições básicas (de forma prática):
  • O interior de um conjunto A é o maior conjunto aberto contido em A. Em \mathbb{R} com a topologia usual, isso significa todos os pontos de A que têm um pequeno intervalo aberto ao redor totalmente contido em A.
  • O fecho (ou aderência) de A é o menor conjunto fechado que contém A; equivale a A mais todos os pontos-limite de A (pontos onde qualquer vizinhança intersecta A).
Vou aplicar essas ideias a cada parte de S.

Passo 4

Interior de \{4\}.
Argumento: em \mathbb{R}, qualquer intervalo aberto ao redor de 4, por menor que seja, contém pontos diferentes de 4. Como \{4\} não contém esses outros pontos, nenhum intervalo aberto ao redor de 4 está contido em \{4\}. Logo \{4\} não tem pontos interiores.
Portanto
\operatorname{int}(\{4\})=\varnothing.

Passo 5

Interior de (5,7].
Para um ponto x com 5<x<7 podemos escolher \delta=\min\{x-5,\,7-x\}>0. O intervalo aberto (x-\delta,x+\delta) fica contido em (5,7), e portanto em (5,7]. Isso mostra que todo ponto de (5,7) é interior em (5,7].
O ponto 7 não é interior porque qualquer intervalo aberto em torno de 7 contém pontos maiores que 7, os quais não pertencem a (5,7]. O ponto 5 nem está no conjunto.
Assim
\operatorname{int}((5,7])=(5,7).

Passo 6

Interior do conjunto S=\{4\}\cup(5,7].
A propriedade útil: a interior é compatível com união finita, isto é
\operatorname{int}(A\cup B)=\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B).
Aplicando:
\operatorname{int}(S)=\operatorname{int}(\{4\})\cup\operatorname{int}((5,7])=\varnothing\cup(5,7)=(5,7).

Passo 7

Fecho de \{4\}.
No espaço \mathbb{R} com a topologia usual, singletones são conjuntos fechados (o complementar é aberto). Logo
\overline{\{4\}}=\{4\}.

Passo 8

Fecho de (5,7].
Pontos interiores x\in(5,7) já pertencem ao fecho. O ponto 7 já está em (5,7]. O ponto 5 é ponto-limite de (5,7]: qualquer vizinhança de 5 contém pontos de (5,7]. Nenhum ponto x<5 ou x>7 é ponto-limite (existe vizinhança que não intersecta (5,7]). Portanto o fecho é o intervalo fechado que vai de 5 a 7:
\overline{(5,7]}=[5,7].

Passo 9

Fecho do conjunto S=\{4\}\cup(5,7].
A propriedade: fecho do união finita é a união dos fechos,
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}.
Assim
\overline{S}=\overline{\{4\}}\cup\overline{(5,7]}=\{4\}\cup[5,7].

Resposta

Interior: (5,7)
Fecho: \{4\}\cup[5,7]

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